幂等矩阵组合的可逆性.docx

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1、幂等矩阵组合的可逆性左可正,谢　涛(湖北师范学院数学与统计学院,湖北黄石435002>摘要：本文研究的是组合的两个矩阵和的非奇异性。利用的可逆性和幂等矩阵的性质，我们得到了两个幂等矩阵和的组合的可逆性的一些充分条件和必要条件。推广了J.J.KolihaandV.Rakocevic'[1],ZuoKe-zheng[2].的结论。b5E2RGbCAP关键词：幂等矩阵；直和；矩阵的秩；核子空间；非奇异性MR(2000>主题分类号：15A03。15A24中图分类号:O151.21文章ID：0255-7797(2009>03-0285-041引言一个在数

2、域上的复矩阵，若，则我们称未幂等矩阵；如果它是幂等且共轭的，那么我们叫它为一个正交投影，使得，其中表示的转置。作为矩阵理论的基本模块之一，幂等矩阵在许多地方是非常有用的，并且已经在大量文献中被广泛研究。p1EanqFDPw特别是，许多作者都研究了这个问题：如果和是幂等，那么在什么情况下和也是幂等？见，例。在什么情况下和非退化的？见，例。在这篇文章中，我们研究的是和之间非奇异性的关系，而且我们得到了两个幂等矩阵6/6和的组合的可逆性的一些充分条件和必要条件。这些结论是由J.J.KolihaandV.Rakocevic'[1],ZuoKe-zhen

3、g[2].的结论推广得到的。DXDiTa9E3d我们把记未复数域上的所有矩阵的集合。表示上的列向量空间。如果，则分别表示的秩，转置，零空间和核空间。就表示所有复矩阵的结合，使得RTCrpUDGiT。一些关于的非奇异性的结果是由J.J.KolihaandV.Rakoˇcevic'([1]>,ZuoKe-zheng([2]>.的结论得到的。5PCzVD7HxA引理1.1[1]令，则下列条件是等价的：

4、，其中。引理1.3令，则是非退化的是非退化的。6/6证明由引理1.2我们很容易得到是非退化的是非退化的。令是非退化的。如果，则且，所以，又因为是非退化的，所以，所以jLBHrnAILg。令。如果，则且，所以，所以是非退化的。2和的一些组合的非奇异性。我们的第一个结果给出了两个幂等矩阵的一些组合的新的零空间。定理2.1令，，则<2.1）<2.2）证明假设，则，所以且，也就是说。假设，则，所以，所以，<2.1）中的第一个式子得证。我们首先知道且。假设，则。所以且，所以<2.2）中的第二个式子得证。同理和6/6也很容易验证。反过来，令，则，。<2.2

5、）得证。定理2.2令，，则是非退化的是非退化的。证明假设，，则所以。所以是非退化的。例2.3规定投影，，，则是可逆的，。但是是不可逆的。现在我们研究的条件很明确，结合的奇异性，确定的奇异性。定理2.4令。则

6、则由引理1.1可知也是非退化的。则是非退化的<当，当，）由定理2.4得为非退化的。LDAYtRyKfE备注1从定理2.4和引理1.1我们获得了类似的结果，如下所示：令，，，则是非退化的是非退化的。参考文献6/6[1]KolihaJJ.,Rakoˇcevic'V..Thenullityandrankoflinearcombinationsofidempotentmatrices[J].LinearAlgebraAppl.,2006,418:11-14.Zzz6ZB2Ltk[2]ZuoKezheng.TheNullityandRankofCombi

7、nationsofIdempotentMatrices[J].JournalofMath,2008,28(6>:619-622.dvzfvkwMI1[3]GroβJ..Ontheproductoforthogonalprojectors[J].LinearAlgebraAppl.,1999,289:141-150.rqyn14ZNXI[4]GroβJ.,TrenklerG..Ontheproductofobliqueprojectors[J].LinearandMultilinearAlgebra,1998,44(3>:247-259.Emxv

8、xOtOco[5]RaoCR.,MitraSK..GeneralizedInverseofMatricesandItsApplications[M].