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时间:2020-03-29
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1、1.2在0K附近,钠的价电子能量约为3eV,求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系,可知E=hv,如果所考虑的粒子是非相对论性的电子<),那么如果我们考察的是相对性的光子,那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有b5E2RGbCAP在这里,利用了以及最后,对作一点讨论,从上式可以看出,当粒子的质量越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强;同样的,当粒子的动能越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性
2、较强,由于宏观世界的物体质量普遍很大,因而波动性极弱,显现出来的都是粒子性,这种波粒二象性,从某种子意义来说,只有在微观世界才能显现。p1EanqFDPw23/231.3氦原子的动能是3、的平均距离还长时,粒子间的相干性就尤为明显,因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布,而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费M公布。RTCrpUDGiT2.3一粒子在一维势场中运动,求粒子的能级和对应的波函数。解:无关,是定态问题。其定态S—方程23/23在各区域的具体形式为Ⅰ:①Ⅱ:②Ⅲ:③由于(1>、(3>方程中,由于,要等式成立,必须即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2>可变为令,得其解为④根据波函数的标准条件确定系数A,B,由连续性条件,得⑤⑥⑤⑥∴由归一化条件得23/23由可见E是量子化的。对应于的归一化的定态波函数为#2.7一粒子在4、一维势阱中运动,求束缚态(>的能级所满足的方程。解法一:粒子所满足的S-方程为按势能的形式分区域的具体形式为Ⅰ:①Ⅱ:②Ⅲ:③整理后,得Ⅰ:④23/23Ⅱ:.⑤Ⅲ:⑥令则Ⅰ:⑦Ⅱ:.⑧Ⅲ:⑨各方程的解为由波函数的有限性,有因此由波函数的连续性,有整理(10>、(11>、(12>、(13>式,并合并成方程组,得解此方程即可得出B、C、D、F,进而得出波函数的具体形式,要方程组有非零解,必须23/23∵∴即为所求束缚态能级所满足的方程。#解法二:接<13)式23/23#解法三:(11>-(13>(10>+(12>(11>+(13>(12>-(10>105、(>12(>13(>11(122-=Þ-+令则合并:23/23利用#解法四:<最简方法-平移坐标轴法)Ⅰ:<χ≤0)Ⅱ:<0<χ<2)Ⅲ:<χ≥2)束缚态<<因此由波函数的连续性,有(7>代入(6>23/23利用(4>、(5>,得#3.1一维谐振子处在基态,求:(1>势能的平均值;(2>动能的平均值;(3>动量的几率分布函数。解:(1> (2>23/23或(3>动量几率分布函数为#3.2.氢原子处在基态,求:(1>r的平均值;(2>势能的平均值;(3>最可几半径;(4>动能的平均值;23/23(5>动量的几率分布函数。解:(1>(3>电子出现在r+dr球壳内出现的几率为6、令当为几率最小位置∴是最可几半径。23/23(4>(5>动量几率分布函数23/233.6设t=0时,粒子的状态为求此时粒子的平均动量和平均动能。解:可见,动量的可能值为动能的可能值为对应的几率应为上述的A为归一化常数,可由归一化条件,得∴∴动量的平均值为23/23#3.7一维运动粒子的状态是其中,求:(1>粒子动量的几率分布函数;(2>粒子的平均动量。解:(1>先求归一化常数,由∴动量几率分布函数为(2>23/23#3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子,势阱的宽度为,如果粒子的状态由波函数描写,A为归一化常数,求粒子的几率分布和能量的平均值。解:由波函数的形式可知一维无7、限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为动量的几率分布函数为先把归一化,由归一化条件,∴∴23/23∴4.1.求在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。解:23/23#4.2求能量表象中,一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。解:基矢:能量:对角元:当时,23/23#4.5设已知在的共同表象中,算符的矩阵分别为求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵对角化。解:的久期方程为23/23∴的本征值为的本征方程其中设为的本征函数共同表象中的矩阵当时,有∴由归一化条件取23/23对应于的本征值0。当时,有∴由归一化条件取∴归一化的对应于
3、的平均距离还长时,粒子间的相干性就尤为明显,因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布,而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费M公布。RTCrpUDGiT2.3一粒子在一维势场中运动,求粒子的能级和对应的波函数。解:无关,是定态问题。其定态S—方程23/23在各区域的具体形式为Ⅰ:①Ⅱ:②Ⅲ:③由于(1>、(3>方程中,由于,要等式成立,必须即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2>可变为令,得其解为④根据波函数的标准条件确定系数A,B,由连续性条件,得⑤⑥⑤⑥∴由归一化条件得23/23由可见E是量子化的。对应于的归一化的定态波函数为#2.7一粒子在
4、一维势阱中运动,求束缚态(>的能级所满足的方程。解法一:粒子所满足的S-方程为按势能的形式分区域的具体形式为Ⅰ:①Ⅱ:②Ⅲ:③整理后,得Ⅰ:④23/23Ⅱ:.⑤Ⅲ:⑥令则Ⅰ:⑦Ⅱ:.⑧Ⅲ:⑨各方程的解为由波函数的有限性,有因此由波函数的连续性,有整理(10>、(11>、(12>、(13>式,并合并成方程组,得解此方程即可得出B、C、D、F,进而得出波函数的具体形式,要方程组有非零解,必须23/23∵∴即为所求束缚态能级所满足的方程。#解法二:接<13)式23/23#解法三:(11>-(13>(10>+(12>(11>+(13>(12>-(10>10
5、(>12(>13(>11(122-=Þ-+令则合并:23/23利用#解法四:<最简方法-平移坐标轴法)Ⅰ:<χ≤0)Ⅱ:<0<χ<2)Ⅲ:<χ≥2)束缚态<<因此由波函数的连续性,有(7>代入(6>23/23利用(4>、(5>,得#3.1一维谐振子处在基态,求:(1>势能的平均值;(2>动能的平均值;(3>动量的几率分布函数。解:(1> (2>23/23或(3>动量几率分布函数为#3.2.氢原子处在基态,求:(1>r的平均值;(2>势能的平均值;(3>最可几半径;(4>动能的平均值;23/23(5>动量的几率分布函数。解:(1>(3>电子出现在r+dr球壳内出现的几率为
6、令当为几率最小位置∴是最可几半径。23/23(4>(5>动量几率分布函数23/233.6设t=0时,粒子的状态为求此时粒子的平均动量和平均动能。解:可见,动量的可能值为动能的可能值为对应的几率应为上述的A为归一化常数,可由归一化条件,得∴∴动量的平均值为23/23#3.7一维运动粒子的状态是其中,求:(1>粒子动量的几率分布函数;(2>粒子的平均动量。解:(1>先求归一化常数,由∴动量几率分布函数为(2>23/23#3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子,势阱的宽度为,如果粒子的状态由波函数描写,A为归一化常数,求粒子的几率分布和能量的平均值。解:由波函数的形式可知一维无
7、限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为动量的几率分布函数为先把归一化,由归一化条件,∴∴23/23∴4.1.求在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。解:23/23#4.2求能量表象中,一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。解:基矢:能量:对角元:当时,23/23#4.5设已知在的共同表象中,算符的矩阵分别为求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵对角化。解:的久期方程为23/23∴的本征值为的本征方程其中设为的本征函数共同表象中的矩阵当时,有∴由归一化条件取23/23对应于的本征值0。当时,有∴由归一化条件取∴归一化的对应于
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