量子力学测验考试点

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1、1．2在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv，如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（），那么如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。在这里，利用了以及最后，对作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，

2、由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。1．3氦原子的动能是（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。解根据，知本题的氦原子的动能为显然远远小于这样，便有这里，利用了最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒

3、子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。2.3一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：无关，是定态问题。其定态S—方程在各区域的具体形式为Ⅰ：①Ⅱ：②Ⅲ：③由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为令，得其解为④根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得⑤⑥⑤⑥∴由归一化条件得由可见E是量子化的。对应于的归一化的定态波函数为#2.7一粒子在一维势阱中运动，求束缚态()的能级所满足的方程

4、。解法一：粒子所满足的S-方程为按势能的形式分区域的具体形式为Ⅰ：①Ⅱ：②Ⅲ：③整理后，得Ⅰ：④Ⅱ：.⑤Ⅲ：⑥令则Ⅰ：⑦Ⅱ：.⑧Ⅲ：⑨各方程的解为由波函数的有限性，有因此由波函数的连续性，有整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须∵∴即为所求束缚态能级所满足的方程。#解法二：接（13）式#解法三：(11)-(13)(10)+(12)(11)+(13)(12)-(10)（b）kactgkk)10()12()13()11(122-=Þ-+令则合并：利用#解法四：（最简方法-平移坐

5、标轴法）Ⅰ：（χ≤0）Ⅱ：（0＜χ＜2）Ⅲ：（χ≥2）束缚态＜＜因此由波函数的连续性，有(7)代入(6)利用(4)、(5)，得#3.1一维谐振子处在基态，求：(1)势能的平均值；(2)动能的平均值；(3)动量的几率分布函数。解：(1) (2)或(3)动量几率分布函数为#3.2.氢原子处在基态，求：(1)r的平均值；(2)势能的平均值；(3)最可几半径；(4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。解：(1)(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为令当为几率最小位置∴是最可几半径。(4)(5)动量几率分布函数3.6设t=0时，粒子的状态为求此时粒子的平均动量和平均动能。解：可见

6、，动量的可能值为动能的可能值为对应的几率应为上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得∴∴动量的平均值为#3.7一维运动粒子的状态是其中，求：(1)粒子动量的几率分布函数；(2)粒子的平均动量。解：(1)先求归一化常数，由∴动量几率分布函数为(2)#3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。解：由波函数的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为动量的几率分布函数为先把归一化，由归一化条件，∴∴∴4.1.求在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。解：#4.2求能量表象中，一维

7、无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。解：基矢：能量：对角元：当时，#4.5设已知在的共同表象中，算符的矩阵分别为求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵对角化。解：的久期方程为∴的本征值为的本征方程其中设为的本征函数共同表象中的矩阵当时，有∴由归一化条件取对应于的本征值0。当时，有∴由归一化条件取∴归一化的对应于的本征值当时，有∴由归一化条件取∴归一化的对应于的本征值由以上结果可知，从的共同表象变到表象的变换矩阵为∴对角化的矩阵为按照与上同样的方法可得的本征值为的归一化的本征函数为从的共同表