教师用导数及其应用.doc

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1、第3课　导数的应用<2）【考点导读】1．深化导数在函数、不等式、解读几何等问题中的综合应用，加强导数的应用意识。2．利用导数解决实际生活中的一些问题，进一步加深对导数本质的理解，逐步提高分析问题、探索问题以及解决实际应用问题等各种综合能力。b5E2RGbCAP【基础练习】1．若是在内的可导的偶函数，且不恒为零，则关于下列说法正确的是<4）。<1）必定是内的偶函数<2）必定是内的奇函数<3）必定是内的非奇非偶函数<4）可能是奇函数，也可能是偶函数2．是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是<4）。<1）<2）<3）<4）3．若，曲线与直线在上的不同交点的个数有至多1个

2、。4．把长为的铁丝围成矩形，要使矩形的面积最大，则长为，宽为。5．在边长为的正方形的四角切去边长相等的小正方形，在把它的边沿虚线折起，作成一个无盖的方底铁皮箱，当箱底边长为时，箱子容积最大，最大值为。p1EanqFDPw【范例导析】例1．函数，过曲线上的点的切线方程为<1）若在时有极值，求f(x>的表达式；<2）在<1）的条件下，求在上最大值；<3）若函数在区间上单调递增，求b的取值范围解：<1）8/8<2）x－2+0－0+极大极小上最大值为13<3）上单调递增又依题意上恒成立.①在②在③在综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b≥0。点评：本题把导数的几何意义与单调性

3、、极值和最值结合起来，属于函数的综合应用题。例2．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥<如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？DXDiTa9E3d分析：本题应该先建立模型，再求体积的最大值。选择适当的变量很关键，设的长度会比较简便。解：设,则由题设可得正六棱锥底面边长为<单位：m）。于是底面正六边形的面积为<单位：m2）：。帐篷的体积为<单位：m3）：求导数，得；令解得x=-2(不合题意，舍去>,x=2。8/8当1为增函数；当2为减函数。所以当

4、x=2时,V(x>最大。答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大。点评：本题是结合空间几何体的体积求最值，加深理解导数的工具作用，主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。RTCrpUDGiT例3．设函数分别在处取得极小值、极大值。在平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足，点是点关于直线的对称点。求：(I>求点的坐标；(II>求动点的轨迹方程.5PCzVD7HxA解：(Ⅰ>令解得；当时,，当时,，当时，。所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,又。所以,点A、B的坐标为。<Ⅱ）设，，，又，所以。又PQ的中点在上，所以，消去得

5、。点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。备用题1．已知函数f(x>=x+x，数列的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线y=f(x>在处的切线与经过<0，0）和）两点的直线平行<如图）。jLBHrnAILg求证：当n时，(Ⅰ>x<Ⅱ）。8/8证明：

6、线，证明：．解：<1）函数的导数；．曲线在点处的切线方程为：，即．<2）如果有一条切线过点，则存在，使．若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则．当变化时，变化情况如下表：000极大值极小值由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；8/8当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即．【反馈演练】1．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是图4。yxOyxOyxOyxO图1图2图3图42．已知对任意实数，有，且时，，则时

7、，与0的大小关系是。3．已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为。4．若，则下列命题正确的是<3）.<1）<2）<3）(4>5．已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是<3）.(1>0是的极大值，也是的极大值(2>0是的极小值，也是的极小值<3）0是的极大值，但不是的极值<4）0是的极小值，但不是的极值6．函数的单调递增区间是．7．在半径为的圆内，作内接等腰三角形，当它的面积最大时，底边上高为。8．设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且则不等式的解集为。9．已知函