导数及其应用(教师版)

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1、导数及其应用导数与定积分是微积分的核心概念之一，也是中学选学内容中较为重要的知识之一.由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数、数列问题提供了更一般、更有效的方法.因此，本章知识在高考题中常在函数、数列等有关最值不等式问题中有所体现，既考查数形结合思想，分类讨论思想，也考查学生灵活运用所学知识和方法的能力.考题可能以选择题或填空题的形式来考查导数与定积分的基本运算与简单的几何意义，而以解答题的形式来综合考查学生的分析问题和解决问题的能力.【知识网络】【知识梳理】一、导数的概念及导数运算　1、导数的定义：（1）平均变化率：设函数在点及其附近有定

2、义，当自变量在处有增量（可正可负），则函数相应地有增量，这两个增量的比，叫做函数在点到这间的平均变化率。（2）函数在处的导数：如果时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或瞬时变化率），记作或，即-27-　　（3）函数的导函数（导数）：如果函数在开区间内每一点都可导，则说在开区间内可导，此时，对于开区间内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间内的导函数（简称导数），记作或，即。【认知】：　　（Ⅰ）函数的导数是以为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在

3、点处的导数是的导函数在时的函数值。　（Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲：　　①求函数的增量；　②求平均变化率；③求极限。上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。　题型1：导数的概念例1．已知s=，求t=3秒的瞬时速度。解析：===（6+=3g=29.4(米/秒)。例2.设函数在点处可导，且，试求　　（1）；　（2）；解析：注意到-27-　　　　当）　　（1）；　　（2）　　　　=A+A=2A　点评：注意的本质，在这一定义中，自变量x在处的增量的形式是多种多样的，但是，不论选择哪一种形式，相应的也必须选择相应的形式，这种步调的一致是求值成功的保障

4、。　练习：1.求函数y=的导数。解析：，=-。点拨：掌握切线的斜率、瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础。2.如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则2BCAyx1O34561234（1）；（2）．（用数字作答）解析：(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2，由导数定义＝f′(1)；当0≤x≤2时，f(x)＝4－2x，f′(x)＝－2，f′(1)＝－2.2、导数的几何意义：　　函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。即　　-27-题型2：导数的几何意义例3．（1）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）A．

5、B．C．D．（2）在曲线C：上，求斜率最小的切线所对应的切点。（2，-12）（3）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是。　　例4.已知曲线C：，直线：与曲线C相切于点(x0≠0)，求直线的方程及切点坐标.解析：由l过原点，知k＝(x0≠0)，又点P(x0，y0)在曲线C上，y0＝x－3x＋2x0，所以＝x－3x0＋2.；而y′＝3x2－6x＋2，k＝3x－6x0＋2.又k＝；所以3x－6x0＋2＝x－3x0＋2，其中x0≠0，解得x0＝.；所以y0＝－，所以k＝＝－，所以直线l的方程为y＝－x，切点坐标为(，－).变式练习：

6、若函数y＝x3－3x＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程.解析：设切点为P(x0，y0)，则由y′＝3x2－3得切线的斜率为k＝3x－3.所以函数y＝x3－3x＋4在P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(3x－3)(x－x0).又切线经过点(－2,2)，得2－y0＝(3x－3)(－2－x0)，①而切点在曲线上，得y0＝x－3x0＋4，②由①②解得x0＝1或x0＝－2.则切线方程为y＝2或9x－y＋20＝0.点拨：（1）导数值对应函数在该点处的切线斜率；（2）注意区别曲线在某点的切线和过某点的切线；（3）导数的运算可以和几何图形的切

7、线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。练习：1.设函数，曲线y=g（x）在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为4；2.过原点作曲线的切线，则切点坐标为，切线的斜率为。3.曲线在点处的切线与轴，直线所围成的三角形面积为，则=。-27-3、导数的运算及导数运算法则　　（1）常见基本初等函数的导数（求导公式）　　常数的导数：（c为常数），即常数的导数等于0。幂函数的导数：。正弦函数的导数：；余弦函数的导数：　对数函数的导数：（Ⅰ）；（Ⅱ）指数函数的导数：（Ⅰ）；（Ⅱ）。　（2）导数的运算法则：设为可导函数，则有：　　；；。　　（3

8、）复合函数的导数：　　设，复合成以x为自变量的函数，则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，　即。　【认知】：认知复合函数的复合关系循