导数及其应用教师版

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1、导数及其应用【知识纵横】2BCAyx1O345612341.导数定义的应用例1.如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，_________．解：由图可知，根据导数的定义知．例２.已知函数,其中，（Ⅰ）略，（Ⅱ）若且，试证：．解：，易知．故，所以解得．2.利用导数研究函数的图像高考资源网6例3.设＜b,函数的图像可能是（）解：，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负．故选C．或当时，当时，选C．点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也是考试的热点题型.例4．若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（）A．B．C．D．解:因为函数的导函数在区间

2、上是增函数，即在区间上各点处函数的变化率是递增的，故图像应越来越陡峭．由图易知选A.3.利用导数解决函数的单调性问题例5．已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；高考资源网（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．解：（1）求导得当时，，，在上递增；当，求得两根为，即在递增，递减，递增。6（2）因为函数在区间内是减函数，所以当时恒成立，结合二次函数的图像可知解得．点评：函数在某区间上单调转化为导函数或在区间上恒成立问题，是解决这类问题的通法．本题也可以由函数在上递减，所以求解．【变式1】若函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，求实数的取值范围．解：，令得或，结合图像知，故

3、．点评：本题也可转化为恒成立且恒成立来解．【变式2】已知函数存在单调递减区间，求a的取值范围；解：因为函数存在单调递减区间，所以在上解，从而有正解．高考资源网①当时，为开口向上的抛物线，总有正解；②当时，为开口向下的抛物线，要使总有正解，则,解得．综上所述，a的取值范围为．【变式3】已知函数．若函数在区间上不单调，求的取值范围．解：函数在区间不单调，等价于在区间上有实数解，且无重根．又，由，得。从而或解得或6所以的取值范围是点评：这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势，充分体现高考“能力立意”的思想，高考中应高度重视。4.利用导数的几何意义研究曲线的切线问题例6.若存在过

4、点的直线与曲线和都相切，则等于A．或B．或C．或D．或解：设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.点评：函数的切线问题，切点是关键，因为它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中往往需要设出切点．【变式】设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（）高考资源网A．B．C．D．解：由曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，可得曲线在点处切线的斜率范围为，又，设点的横坐标为，则，解得，故选．5.利用导数求函数的极值与最值例7.已知函数其中（1）当时，求曲线处的切线的斜率；（2）当时，求函

5、数的单调区间与极值。（I）解：高考资源网（II）以下分两种情况讨论。6（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗点评:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。例8.已知函数（），其中．若函数仅在处有极值，求的取值范围．解：，显然不是方程的根．为使仅在处有极值，必须成立，即有．解不等式，得．这时，是唯一极值．因此满足条件的的取值范围是．高考资源6.利用导数解决实际问题例9.用长为18cm的钢条围成一

6、个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为（m），则长为(m)，高为.故长方体的体积为从而令，解得（舍去）或，因此.当时，；当时，，故在处取得极大值，并且这个极大值就是6的最大值，从而最大体积，此时长方体的长为2m，高为1.5m例10.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元高（

7、Ⅰ）试写出关于的函数关系式；高考资源网（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？解（Ⅰ）设需要新建个桥墩，所以＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，得，所以=64w.w.w.k.s.5.u.c.o.m当0<<64时<0，在区间（0，64）内为减函数；当时，>0.在区间（64，640）内为增函数，所以在=64处取得最小值，此时，故需新建9个桥墩才能使最小高6