上课用：导数及其应用复习小结 -

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1、第一章导数及其应用复习[分析](1)利用y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程建立a和b之间的关系式，即可求出f(x)的解析式．(2)先求出过任一点P(x0，y0)的切线方程，然后求解．[答案]D[例1]已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．[分析]依据导数的符号来判断函数的单调性，再由单调性求最值．[解析](1)f′(x)＝(x－k＋1)ex令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)随x的变化情况如下：所以，f

2、(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)，x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ex－1(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0

3、单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.[评析]本题主要考查导数的应用以及综合运用有关知识解决问题的能力．[分析]本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性．(1)问，利用导函数大于(小于)零，解不等式求得函数的单调区间(注意参数k的取值对单调区间的影响)．(2)问把不等式恒成立求参数的范围问题，转化为求函数f(x)的区间(0，＋∞)上的最值，注意对k分k>0，k<0两种情况进行分类讨论．x(－∞，－k)－k(－k，k)k(k，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

4、4k2e－10所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)．当k<0时，f(x)与f′(x)的情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)．x(－∞，k)k(k，－k)－k(－k，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)04k2e－1已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的

5、取值范围；若不存在，说明理由；(3)证明f(x)＝x3－ax－1的图像不可能总在直线y＝a的上方．[解析](1)由已知f′(x)＝3x2－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2时，对x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只需a≤0，又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0.(2)由f′(x)＝3x2－a≤0，在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立．∵－1

6、<3，∴只需a≥3.当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)．在x∈(－1,1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．(3)∵f(－1)＝a－2

7、(x)＝3ax2＋2x＋b，因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]