2016_2017学年高中数学第4章导数应用1.1导数与函数的单调性课件北师大版.pptx

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1、第四章导数应用§1函数的单调性与极值1．1导数与函数的单调性学课前预习学案研究股票时，我们最关心的是股票曲线的发展趋势(走高或走低)，以及股票价格的变化范围(封顶或保底)．从股票走势曲线图来看，股票有升有降．我们知道，股票走势曲线的变化趋势可以看作函数曲线的单调性．那么，如何用导数来研究函数的单调性呢？导函数的符号与函数单调性之间的关系导数函数的单调性f′(x)>0单调__________f′(x)<0单调__________f′(x)＝0常数函数增函数减函数(1)利用导数讨论函数单调区间时，应首先确定函数的定义域，所有问题的讨论，都只能

2、在定义域内．通过讨论导数符号，来确定函数在定义域内的单调区间．(2)在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间内是增大(或减小)的充分条件．如f(x)＝x3在R上是增加的，但x＝0时，f′(x)＝0，所以当x∈R时，f′(x)≥0.(3)在划分单调区间时，除了确定使f′(x)＝0的点外，还要注意函数无定义的点和不可导点．1．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增解析：∵f′(x)＝2－cosx，在(－∞，＋∞)内f′(x)＞0恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞

3、)上是增函数．答案：A2．函数y＝x＋lnx的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，－1)，(1，＋∞)C．(－1,0)D．(－1,1)3．函数f(x)＝x3－x2－40x的递增区间为________，递减区间为________．4．判断下列函数的单调性：(1)y＝x3＋x；(2)y＝x3－x.讲课堂互动讲义利用导数判断(或证明)函数的单调性利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)＞0(f′(x)＜0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数f′(x)；②判断f′(x)的符号；③给出单调

4、性结论．利用导数求函数的单调区间(1)求函数单调区间要注意先求出函数的定义域，再利用导数大于0或小于0求得自变量的范围，从而求得单调区间．(2)含有参数的函数求单调区间时注意分类讨论．若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上是增加的，求实数a的取值范围．[思路导引]欲求实数a的取值范围，需要建立关于a的关系式，利用不等式的知识进行求解．由f(x)在R上是增加的知，f′(x)≥0对x∈R恒成立，从而转化为一元二次不等式恒成立问题求解．由函数的单调性求参数的取值范围已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]的单调性，求参数的取值范围的

5、步骤：(1)求导数y＝f′(x)；(2)转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立问题；(3)由不等式恒成立求参数范围；(4)验证等号是否成立．求函数f(x)＝2x2－lnx的单调区间．