2016_2017学年高中数学第3章导数应用1.1导数与函数的单调性课件北师大版.pptx

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1、第三章导数应用§1函数的单调性与极值1.1导数与函数的单调性课前预习学案1．对于函数f(x)＝x2－2x.(1)写出函数的递增区间和递减区间．(2)在递增区间内，导函数f′(x)的符号确定吗？在递减区间内呢？[提示](1)递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(－∞，1)，(2)f′(x)＝2x－2，故在递增区间(1，＋∞)内，f′(x)＞0；在递减区间(－∞，1)内，f′(x)＜0.函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的符号有如下关系：利用导数的符号判断函数单调性导函数的正负函数在(a，b)上的单调性f′(x)＞0________f′(x)

2、＜0________f′(x)＝0________增加减少常函数(1)判断函数单调性时，f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上增加，但f′(x)≥0，∴f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件．当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数函数，不具单调性．所以f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件．(2)求函数单调区间的步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f′(x)；③由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应

3、区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数．3．f(x)＝－2x3＋4x2＋5的单调增区间是____________．4．求函数y＝x4－2x2＋6的单调区间．解析：y′＝4x3－4x.令y′＞0即4x3－4x＞0，解得－1＜x＜0或x＞1，因此单调增区间为(－1,0)和(1，＋∞)；令y′＜0，即4x3－4x＜0，解得x＜－1或0＜x＜1，因此单调减区间为(－∞，－1)和(0,1)．课堂互动讲义利用导数判断或证明函数的单调性用导数证明函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调性的步骤：(1)求出y＝f(x)的导数f′(x)

4、；(2)证明导数y＝f′(x)在区间(a，b)内恒正(恒负)；(3)下结论，y＝f(x)在区间(a，b)内为增加的(减少的)．求函数的单调区间[规范解答](1)f′(x)＝6x2－12x.令f′(x)＞0，即6x2－12x＞0，解得x＜0或x＞2，令f′(x)＜0，即6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.所以，该函数的递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，递减区间是(0,2).2分综上函数的单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－1,0)．(2)y′＝x2－(a＋a2)x＋a3＝(x－a)(x－a2)①当a＜0时，a2＞a，若x＜a或x＞a2

5、，则f′(x)＞0，f(x)单调递增；若a＜x＜a2，则f′(x)＜0，f(x)单调递减．②当0＜a＜1时，a2＜a，若x＜a2或x＞a，则f′(x)＞0，f(x)单调递增；若a2＜x＜a，则f′(x)＜0，f(x)单调递减．③当a＞1时，a2＞a若x＜a或x＞a2，则f′(x)＞0，f(x)单调递增；若a＜x＜a2，则f′(x)＜0，f(x)单调递减．④当a＝0或a＝1时，a2＝a，此时f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增．综上所述：当a＜0或a＞1时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，a)和(a2，＋∞)，单调减区间是(a，a2)．当0

6、＜a＜1时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，a2)和(a，＋∞)，单调减区间是(a2，a)．当a＝0或a＝1时，f(x)单调增区间是(－∞，＋∞)，无递减区间．若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上是增加的，求实数a的取值范围．[思路导引]欲求实数a的取值范围，需要建立关于a的关系式，利用不等式的知识进行求解．由f(x)在R上是增加的知，f′(x)≥0对x∈R恒成立，从而转化为一元二次不等式恒成立问题求解．由函数的单调性求参数的取值范围利用函数的单调性求参数的范围的解题规律(1)已知函数的单调性，求参数的范围，这是一种非常重

7、要的题型．在某个区间上f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，f(x)在这个区间上单调递增(或递减)；但由f(x)在这个区间上单调递增(或递减)而仅仅得到f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是不够的，即还有可能f′(x)＝0也能使f(x)在这个区间上单调，因而对于能否取到等号的问题需要单独验证．(2)有些问题也可以由导函数f′(x)≥0(≤0)在某个区域上恒成立，进一步转化为：一个参数a≥g(x)恒成立或a≤g(x)恒成立问题．即①a≥g(x)恒成立⇔a≥[g(x)]max；②a≤g(x)恒成立⇔a≤[g(x)]min.3．若函数f(x)＝x3－a

8、x2＋1在[0,2]内单调递减，求实数a的取值范围．【错因】上述解答过程中犯了两个错误，一是忽略了函数的定义域；二是求导过程中计算错误，导致结果出错．