线性代数精品课程.ppt

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1、第九章矩阵§9.1矩阵的概念§9.2矩阵的运算§9.3矩阵的逆§9.4矩阵的秩§9.1矩阵的概念§9.2矩阵的运算§9.3矩阵的逆§9.4矩阵的秩第十章线性方程组§10.1线性方程组解的情况判定§10.2线性方程组的消元解法§10.3维向量及其线性相关性§10.4向量组的秩§10.5线性方程组解的结构§10.6线性方程组的应用举例§10.1线性方程组解的情况判定一、线性方程组的几种表示形式1.一般形式其中称为未知量的系数称为常数项,称为未知量含有n个未知量，…,的m个方程的线性方程组，其一般形式为(10.1

2、.1)当常数项不全为零时,称该方程组为非齐次线性方程组,而当时称该方程组为齐次线性方程组.此时方程组变为如果将n个数依次替代线性方程组（10.1.1）中的未知量后，方程组（10.1.1）中的每个方程都变成恒等式的话,则称该组数为线性方程组(10.1.1)的解(10.1.2)对于齐次线性方程组(10.1.2)来说,显然永远是其解,一般称该组解为零解如果不全为零,使得齐次方程组(10.1.2)成立,则称为齐次线性方程组(10.1.2)的非零解.2.矩阵形式为了便于研究线性方程组,经常又将其表示为矩阵形式其中称为

3、(10.1.1)的系数矩阵称为(10.1.1)的未知量矩阵称为(10.1.1)的常数项矩阵3.增广矩阵形式由于线性方程组的解主要是由未知量的系数及常数项来决定的,因此,我们也常将(10.1.1)的系数矩阵和常数项矩阵合放在一起,作成一个较大的矩阵,并称该矩阵为增广矩阵,通过对增广矩阵的研究,从而得到线性方程组解的情况.所以也称增广矩阵为线性方程组的一种表示形式.注意:线性方组还有一种向量表示形式(以后再介绍)二、线性方程组解的情况判定当时,(10.1.1)有无穷多组解.定理10.1(线性方程组有解的条件)线

4、性方程组(10.1.1)有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩.即且当时,(10.1.1)有惟一一组解;例1问a，b取何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷多解？解由可知，当a=5而b≠-3时，r（A）=2，r（AB）=3，故方程组无解；当a≠5时，r（A）=r（AB）=3，故方程组有惟一一组解；当a=5而b=-3时，r（A）=r（AB）=2，故方程组有无穷多组解．对于齐次线性方程组(10.1.2),应用定理10.1得定理10.2(齐次线性方程组有非零解的条件)齐次线性方程组（10.1.2）有非

5、零解的充分必要条件是r（A）

6、，是唯一解还是无穷多解？2．判断下面线性方程组解的情况其中，a，b，c，d互不相等3．问当k为何值时，有解?．4．λ为何值时，方程组．有非零解?5．判断下列方程组是否有解§10.2线性方程组的消元解法一、行简化的阶梯形矩阵上一章我们已经介绍过阶梯形矩阵,那么什么是行简化的阶梯形矩阵呢?定义10.1如果阶梯形矩阵满足非零行的第一个非零元素(称其为主元)均为1;主元所在列的其余元素均为零.则称为行简化的阶梯形矩阵解方程组①中第二个与第三个方程分别减去第一个方程的（1/2）倍与（5/2）倍，得引例解线性方程组①②

7、二、线性方程组的消元解法再将方程组②中第三个方程加上第二个方程的（2/3）倍，得③方程组③是一个阶梯形方程组，从方程组③的第三个方程可以得到的值，然后再逐次代入前两个方程，求出、，则得到方程组①的解．现将过程表述如下将方程组③中第三个方程乘以（2/13）并将其1倍及-9/2倍加于第一及第二个方程上，得将方程组④的第二个方程乘以-1/3并将其（-2）倍加于第一个方程上，得④最后以（1/2）乘方程组⑤中第一个方程，得⑤显然方程组①至⑥都是同解方程组，因而⑥就是方程组①的解⑥由此例可以看出，用消元法解线性方程组时

8、，参与运算的只是线性方程组中未知量的系数和常数项，即增广矩阵的元素．因此，用消元法解线性方程组，实质上就是对该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程．上例的求解过程可用矩阵表述如下:第一行乘以加到第二行上去;第一行乘以加到第三行上去.第二行乘以加到第三行上去第三行同时乘以第三行乘以加到第二行上去;第三行乘以加到第一行上去第二行乘以加到第一行上去;第二行同时乘以第一行同时乘以从而得原方程组的解为=1，=3,=2．消元