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《高中数学-3.2.3直线的一般式方程课件-新人教A版必修2.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章直线与方程第二节直线的方程直线的一般式方程自学导引1.掌握直线方程的一般式. 2.能根据条件熟练地求出直线的方程.课前热身1.在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这条直线的关于x、y的____________;任何关于x、y的二元一次方程都表示______________.方程_________________________________叫做直线方程的一般式.二元一次方程一条直线Ax+By+C=0(其中A､B不同时为零)2.对于直线Ax+By+C=0.当B≠0时,其斜率为
2、__________,在y轴上的截距为_________;当B=0时,在x轴上的截距为_____________;当AB≠0时,在两轴上的截距分别为____________､____________.名师讲解直线和二元一次方程的关系 因为在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角α.(1)当α≠90°,如右图所示,直线斜率存在,方程可写成y=kx+b,它可变形为kx-y+b=0,与二元一次方程一般形式Ax+By+C=0比较,有A=k,B=-1,C=b.(2)当α=90°时,如右图,直线斜率不存在,其方
3、程可写成x=x1,与二元一次方程Ax+By+C=0比较有A=1,B=0,C=-x1(显然A､B不同时为0).所以,在平面直角坐标系中,对于任何一条直线有一个表示这条直线的关于x,y的二元一次方程.反过来,任何关于x,y的二元一次方程都能表示一条直线吗?二元一次方程的一般形式Ax+By+C=0,①其中A､B不同时为0.(1)当B≠0时,方程①可化为y=-,它表示斜率为在y轴上截距为的直线(斜截式方程).(2)当B=0时,由于A､B不同时为0,必有A≠0,方程①可化为x=-它表示一条与y轴平行或重合
4、的直线. (3)当A=0时,或A≠0时,同样可推出方程①表示直线.所以在平面直角坐标系中,任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线.综上可知,在平面直角坐标系中,直线与x、y的二元一次方程是一一对应的.由此导出概念,方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程.典例剖析题型一直线与方程例1:求直线l:3x+5y-15=0的斜率以及它在x轴,y轴上的截距,并画图.解:将直线l的方程3x+5y-15=0写成y=-x+3,因此,直线l的斜率k=-在方程3x+5y-15=0中,当
5、x=0时,y=3;当y=0时,x=5.所以,直线l在y轴上的截距为3,在x轴上的截距为5.画一条直线时,只要找出这条直线上的任意两点就可以了.通常是找出直线与两个坐标轴的交点.上面已经求得直线l与x轴,y轴的交点分别为(5,0),(0,3),过这两点作直线,就得直线l,如下图.变式训练1:用一般式或斜截式写出下图中各条直线的方程.解:(1)x-y+2=0(或y=x+2); (2)x+y-1=0(或y=-x+1); (3)x+3y-3=0(或y=-x+1); (4)x+2y+2=0(或y=-x-1
6、).题型二直线平行与垂直例2:已知两条直线方程l1:mx+2y+8=0,l2:x+my+3=0,当m为何值时: (1)两直线互相平行; (2)两直线互相垂直.分析:因为直线方程中x,y的系数含有字母m,所以要分m=0和m≠0讨论解答.解:(1)当m=0时,l1:y+4=0,l2:x+3=0,显然l1与l2不平行;(2)由(1)知,当m=0时,显然有l1⊥l2;当m≠0时,若l1⊥l2,则有 时m不存在.综上知,当m=0时,l1与l2互相垂直.规律技巧:对于两直线l1:A1x+B1y+C1=0,
7、l2:A2x+B2y+C2=0.有以下结论:(1)l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0). (2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. (3)l1与l2重合⇔A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1=0(或B1C2-B2C1=0).变式训练2:已知三直线l1:2x-4y+7=0,l2:x-2y+5=0,l3:4x+2y-1=0,求证:l1∥l2,l1⊥l3.证明:把l1、l2、l3的方程写成斜截式得题型三综合问题例3:求证:不论m取什么实数,直线
8、(m-1)x+(2m-1)y=m-5总过某一定点.分析:由题意知,不论m取什么值,直线总是通过定点,也就是说与m的取值无关,因此可将方程变形为m的方程,令m的系数为0,解方程组得出定点坐标.证明:方法1:把原方程变形得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,此式对于m的任意实数都成立, ∴x+2y-1=0, x+y-5=0. ∴x=9, y=-4.即直线过定点(9,-4).方法2:取m=1,得y=-4,取m=,得x=9.把点(9,-4)代入直线方程,右边=(m-1)×9+(2m-1)(-4)=
