不需画图来确定三重积分的积分限

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第2004馨年l1月IJOURNALOFZHEJ师IA范N大G学NO学R报MAL然U科NI学V版ERSITY(Nat．Sci．)V0NI．OV2．7，20N0O4．4文章编号：1001—505I一(2004)04—0345—04利用平面投影图形确定三重积分的积分限严永仙(浙江科技学院理学系，浙江杭州310012)摘要：三重积分积分限的确定一直是教学的难点与重点．针对学生空间想像力及作图能力欠缺的现状，结合教学实践，提出了用平面图形代替立体图形的方法，给出了积分域的投影区域及积分限确定的几种方法，以有效解决三重积分的积分限的确定问题．关键词

2、：三重积分；积分区域；积分限；投影；投影区域中图分类号：O172文献标识码：A0引言三重积分计算的思想是化三重积分为三次积分，其重点、难点和关键点是选择适当的坐标系、积分次序和积分限的确定．对上述要点的掌握，传统的做法是要求学习者能根据题中的条件作出或想像出积分区域的大致图形，需要有较强的空间想像能力，但从教学实践的情况看，学习者欠缺的正是空间想像力，常常停留在平面图形上；由方程难以确定曲面的形状，有的虽能判别出其形状，但要作出对应的图形常感到困难，而要画出几个曲面所围的区域则更为困难了．为此，学习者普遍感到三重积分难学．这一情况引起了笔者的深思：三重积分的积分限的确定能否避开积分域的

3、立体图形，寻找其他有效途径以达到异曲同工之效呢?就三重积分在直角坐标系、柱面坐标系上的计算问题，通过对教材r1及大量参考书中习题的深入分析和思考，给出了肯定的回答，探索出了一种易被学习者接受而行之有效的方法——利用平面图形确定三重积分的积分限．这种方法的关键是作出积分域在被选定坐标面上的投影区域，再加上一些简单的分析和判断便可确定积分限，而不必作出积分域的立体图形，若能想像出积分域的大致图形，则能更快更准地确定出积分限．通常情况下，积分区域的边界曲面可分为两类：F(x，Y，z)一0(方程中显含z)和g(x，)一0．为叙述方便，笔者针对三重积分在直角坐标系、柱面坐标系下的“先一后二”法(

4、以先z后z，Y或r，为例，并记n在xoy面上投影区域为D)，提出D的几种作法及积分限确定的方法．1截痕法用坐标面z一0截各曲面得截痕[2]，各截痕所围的公共部分为D⋯具体做法如下：第1步：在z。面上分别作出各截痕lg1‘z0(一1，2，⋯，s)或lFl‘z’o一o(一1，2，【z一0【z=0⋯，志)(即考虑g(z，)一0或(z，Y，O)一0在平面中的图形)．第2步：确定投影区域D(各截痕所围的公共部分为D)．收文日期：2004—02—05；修订日期：2004—09一ll作者简介：严永仙(1966一)，女，浙江临安人，讲师．研究方向：应用数学维普资讯http://www.cqvip.co

5、m346浙江师范大学学报(自然科学版)第3步：确定的上下限．从F(，，)一0中解出一厂(，)，在D中比较，(，)的大小，大者为上限，小者为下限．第4步：确定二重积分的积分限．根据二重积分的积分限确定原则，用不等式表示D，得，的积分限或r，0的积分限．第5步：确定三重积分的积分限．综合第3、第4步可得，若采用柱面坐标系，则须将各积分限用柱面坐标表示．注1若截痕』gJ‘z’一0(一1，2，⋯，s)已能围成闭区域或Fi(，，)三2，则不必考虑截痕』Ft‘，o～(一1，2，⋯，走)．I一0注2若n的图形限制在第一卦限，则根据上述步骤作出第一象限部分的投影区域，其余类推．适用类型：(1)n由曲面

6、F(z，，)一O(一1，2，⋯，k，走≤2)及柱面g(，)一O(一1，2，⋯，s)所围闭区域；(2)n由一个中心在(口，b，O)的球面(或椭球面)F(z，y，)一O所围的闭区域．例1求由曲面z-by一6一，—o，x=O，一4，z一1和一2所围立体的体积．解易知所求体积为V一⋯dxdydz，在xoy面上作直线z一0，y=O，一1和一2，那么它们所围的闭区域为投影区域D：o≤z≤1，o≤≤2．由z+。一6一知一6一z一，由一4z知一÷，因此在D上有6-z一y2≥÷，从而的积分限为詈≤≤6一z一，容易计算得一Ⅲd口一dzdd一萼．注3此法的优势在于能简捷地作出D的图形．若按传统的做法，由于涉

7、及的曲面较多，学习者想像或作出n的图形。的难度较大．2交线投影法作两曲面的交线在xoy面上的投影，投影所围区域的并为．具体做法如下：第1步：作任意2个相交曲面的交线c：{F，i(x,，yv,，z；(≠)在z。面上的投影z：fg(z，)一0l一0’第2步：确定投影区域D(由l所围区域的并为D)；以下步骤与“截痕法”相同．适用类型：(1)n由一个中心在(口，6，c)的球面(或椭球面)F(z，y，)一0所围的闭区域(此时取F。(z，，)一—c，考虑交