】二面角的定义PPT课件.ppt

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1、二面角(一)二面角1.半平面的定义一个平面内的一条直线将这个平面分成两部分,其中每一部分都叫半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.一、二面角的定义二面角二面角2、二面角的表示方法AB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCDABCEFD二面角C－AB－E1、定义二面角二、二面角的平面角ABPl1、定义二面角的平面角必须满足：3）角的两边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内二面角的平面角的范围:[0,180]二面角的大小用它的平面角的大

2、小来度量以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角A1B1P1注意:(与顶点位置无关)∠APB=∠A1P1B12、作二面角的平面角的常用方法①、点P在棱上②、点P在一个半平面上③、点P在二面角内ιpαβABABpαβιABOαβιp—定义法—三垂线定理法—垂面法二面角ABPMNCDO解：在PB上取不同于P的一点O，在内过O作OC⊥AB交PM于C，在内作OD⊥AB交PN于D，连结CD，可得：设PO=a，∵∠BPM=∠BPN=45º∴CO=a，DO=a，PCa，PDa又∵∠MPN=60º∴CD=PCa∴∠

3、COD=90º因此，二面角的度数为90º例1.如图,已知P是二面角棱上一点，过P分别在、内引射线PM、PN，且∠MPN=600，∠BPM=∠BPN=450，求此二面角的度数。∠COD是二面角的平面角①②③一“作”二“证”三“计算”3、讲解例题：已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。PABC1.定义法：D过A作AD⊥PC于D，E过D作DE⊥PC于D，交PB于E，连结AE，则∠ADE就是此二面角的平面角。二面角的求法1’.定义法：则∠BDE就是此二面角的平面角。连结BE，已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，

4、求二面角A-PC-B的大小。PABC过B作BD⊥PC于D，D过D作DE⊥PC于D，交AC于E，E二面角的求法已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。PABC2’.三垂线定理法：D过B作BD⊥PC于D，则∠BDE就是此二面角的平面角。连结DE，过B作BE⊥AC于E，E二面角的求法∵PA⊥面ABC，∴面PAC⊥面ABC，∴BE⊥面PAC，∴ED⊥PC，∵△ABC为正△，∴BE=在Rt△PAC中，E为AC中点，则DE=∴tg∠BDE=∴∠BDE=arctg已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大

5、小。PABC2’.三垂线定理法：连结AD，则∠ADO就是此二面角的平面角。D过O作OD⊥PC于D，O过A作AO⊥面BPC于O，F连结PO并延长交BC于F，二面角的求法已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。3.射影面积法：则△POC就是△PAC在面PBC上的射影。PABCO过A作AO⊥面BPC于O，二面角的求法F连结PO并延长交BC于F，连结OC，已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。PABC3’射影面积法：则△PDC就是△PBC在面PAC内的射影。过B作BD⊥AC于D，D连结PD，

6、二面角的求法几点说明：⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用。⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。⑸间接法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面

7、的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。二面角的求法ABCD例2.A为二面角－CD－的棱CD上一点，AB在平面内且与棱CD成45º角，又AB与平面成30º，求二面角－CD－的大小。CO解：作BC于C，连结AC过C作COCD于O，连结OB由三垂线定理可得：BOCD∠BOC是二面角的平面角则∴所求二面角的大小为45º设AO=a在RtAOB中，BO=a,AB=a在RtACB中，BAC=30º,AB=a,BC=a在RtBCO中，sin∠BOC=解：ABPlO二面角例3．如图P为二面角