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1、第七讲积分变换与微分方程积分变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换函数函数名称意义LaplaceTransform[expr,t,s]对expr的拉普拉斯变换InverseLaplaceTransform[expr,s,t]对expr的拉普拉斯逆变换LaplaceTransform[expr,{t1,t2,…},{s1,s2,…}]对expr的多维拉普拉斯变换InverseLaplaceTransform[expr,{s1,s2,…},{t1,t2,…}]对expr的多维拉普拉斯逆变换函数f(t):拉普拉斯变换为：拉普拉斯逆变换为
2、：例1给出t3sint的拉普拉斯变换Mathematica命令为：In[1]:=LaplaceTransform[t^3Sin[t],t,s]Out[1]=上式的逆变换是：In[2]:=InverseLaplaceTransform[%,s,t]Out[2]=t3sint拉普拉斯变换的基本特性是可以将微分和积分运算转化为基本的代数运算。比如：In[3]:=LaplaceTransform[,t,s]Out[3]=傅立叶变换傅立叶变换函数函数名称意义FourierTransform[expr,t,w]对expr的傅立叶变换
3、InverseFourierTransform[expr,w,t]对expr的傅立叶逆变换FourierSinTransform[expr,t,w]对expr的傅立叶正弦变换InverseFourierSinTransform[expr,w,t]对expr的傅立叶正弦逆变换FourierCosTransform[expr,t,w]对expr的傅立叶余弦变换InverseFourierCosTransform[expr,w,t]对expr的傅立叶余弦逆变换在Mathematica中，函数f(t)的傅立叶变换在默认情况下定义
4、为函数F(w)的逆变换为例2给出cos(x2)的傅立叶变换Mathematica命令为：In[4]:=FourierTransform[Cos[t^2],t,w]Out[4]=上式的傅立叶逆变换为：In[5]:=InverseFourierTransform[%,w,t]Out[5]=Cos[t2]为了避免复杂的指数运算,傅立叶变换中引进了傅立叶正弦变换和傅立叶余弦变换。它们用Sin[wt]和Cos[wt]代替傅立叶变换定义中的函数Exp(iwt),而且用积分区间(0,)代替(-,)。例3给出t2exp(-t)的傅
5、立叶正弦和余弦变换Mathematica命令为：In[6]:={FourierSinTransform[t^2Exp[-t],t,w],FourierCosTransform[t^2Exp[-t],t,w]}Out[6]=在不同的领域，对傅立叶变换和其逆变换的定义是不同的，可以用FourierParameters来指出是哪一种定义。领域取值傅立叶变换公式傅立叶逆变换公式默认现代物理{0，1}纯数学系统工程{1，-1}经典物理{-1，1}符号处理{0，-2Pi}一般情况{a，b}例如默认情况下的傅立叶变换为In[4]:=F
6、ourierTransform[t^2Exp[-t^2],t,s]Out[4]=以下是纯数学的傅立叶变换In[5]:=FourierTransform[t^2Exp[-t^2],t,s,FourierParameters{-1,1}]Out[5]=微分方程常微分方程的求解常微分方程的解析解常用格式：DSolve[eqn,y[x],x]求微分方程的解y(x)DSolve[eqn,y,x]求微分方程的解yDSolve[{eqn1,eqn2,…},{y1,y2,…},x]求微分方程组的解求方程y՛՛՛-y՛՛=x的通解Mat
7、hematica命令为In[6]:=DSolve[y՛՛՛[x]-y՛՛[x]==x,y[x],x]Out[6]={{y[x]→-x2/2–x3/6+exC[1]+C[2]+xC[3]}}求方程组x՛-y=0，y՛+x=0的通解Mathematica命令为In[7]:=DSolve[{x՛[t]-y[t]==0,y՛[t]+x[t]==0},{x[t],y[t]},t]Out[7]={{x[t]→C[1]Cos[t]+C[2]Sin[t],y[t]→C[2]Cos[t]-C[1]Sin[t]}}已知y՛՛+y՛-2y=0
8、,(1)求方程的通解(2)求方程满足初始条件y(0)=4,y՛(0)=1的特解Mathematica命令为In[8]:=DSolve[y՛՛[x]+y՛[x]-2y[x]==0,y[x],x]Out[8]={{y[x]→e-2xC[1]+exC[2]}}In[9]:=DSolve[{y՛՛[x]+y՛[x]-2y[x
