三角函数最值问题的几种常见类型.doc

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1、求三角函数最值问题的几种常见类型1：此类函数利用即可求解，显然[例1]求的最大值与最小值例.在直角三角形中，两锐角为A和B，求的最大值。解：由，得，则当时，有最大值。　2．y=asinx+bcosx型的函数特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：y=sin(x+φ)，其中例1（2004年全国，理4）函数在区间[0，]上的最小值为___。[解析]：=2（）=2（）=2因为，所以，当时，易知y的最小值为[答案]所以应填“1”。　　　　例2已知函数f(x)=2co

2、sxsin(x+)－sin2x+sinxcosx8(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值；(3)若当x∈［，］时，f(x)的反函数为f－1(x)，求f-－1(1)的值.解：(1)f(x)=2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos+cosxsin)－sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)∴f(x)的最小正周期T=π(2)当2x+=2kπ－，即x=kπ－(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.(3)令2sin(2x+)

3、=1，又x∈［］,∴2x+∈［,］,∴2x+=，则x=，故f-－1(1)=.　　3．y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数。　　此类函数可先降次，再整理转化形式解决，例．求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值时的x的集合。　　4．y=asin2x+bcosx+c型的函数　　特点是含有sinx,cosx，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成形如的二次函数来求解。8例是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a·cos

4、x+a－在闭区间［0，］上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.综合上述知，存在符合题设　　5．y=型的函数　　特点是一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式。几乎所有的分式型都可以通过分子，分母的化简，最后整理成这个形式，它的处理方式有多种，如利用万能公式换元后用判别式处理。　　例．求函数y=的最大值和最小值。　　解法1：原解析式即：sinx-ycosx=2-2y,即sin(x+φ)=，　　∵

5、sin(x+φ)

6、≤1,∴≤1，解出y的范围即可。　　解法2：表示的是过点(2,2)与点(cosx,sinx)的斜率，而

7、点(cosx,sinx)是单位圆上的点，观察图形可以得出在直线与圆相切时取极值。　　解法3：应用万能公式设t=tg()　　则y=，即(2-3y)t2-2t+2-y=08根据Δ≥0解出y的最值即可。可看作是单位圆上的动点P与Q连线的斜率，设直线的方程为即，则圆心（0,0）到它的距离解得或【附】：求的值域（反解法）又函数的值域8利用正（余）弦函数的有界性，转化为以函数y为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法。例.求函数的最大值和最小值。解：由已知得，即，所以因，即解得，故　　6．y=sinxcos2x型的函数。　　它的特点是关于sinx，co

8、sx的三次式（cos2x是cosx的二次式）。因为高中数学不涉及三次函数的最值问题，故几乎所有的三次式的最值问题（不只是在三角）都用均值不等式来解（没有其它的方法）。但需要注意是否符合应用的条件（既然题目让你求，多半是符合使用条件的，但做题不能少这一步），及等号是否能取得。例、如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离r的平方成反比，即I=k·，其中k是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？解：R=rc

9、osθ，由此得：，8　　注：本题的角和函数很难统一，并且还会出现次数太高的问题。7．含有“的三角函数的最值问题　　此类函数的常用解决方法是将转化为的函数关系，，并应用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx进行转化最终划归为二次函数的最值问题。解此类型最值问题通常令例．求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。　　解：令sinx+cosx=t,(-≤t≤)，则1+2sinxcosx=t2，所以2sinxcosx=t2-1,所以y=t2-1+t=(t+)2-.根据二次函数的图象，解出y的最大值是1+。求函数的最值。8：利用

10、函数单调性求最值8求的最值及对应的的集合：将分子展开转化为的形式来解决令则且设窗体顶端9、形如的形式例4.求函数的最大值和最小值。解：由，得，，，即此题是利用了分离分母的方法求解