探讨几种常见的三角函数最值问题

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1、探讨几种常见的三角函数最值问题近些年来，有关三角函数的最值问题逐渐成为各等级高中数学考试的重点。通过对三角函数最值一类问题的教学，可以帮助学生强化数学知识与数学思想之间的联系，同时有利于培养学生的数学思维。下面，我们来探讨几种常见的三角函数最值问题。一、三角函数最值常见类型(1)一次型三角函数。一次型三角函数是指那些三角函数的幂次数等于一的函数类型，例如：y=asin(bx)、y=asinbx+ccosdx、y=asinxcosx等。对此，此类函数的求法较为多样，也较为简单，可以总结为”遇不同，化相同”。(2)二次型三角函

2、数。二次型三角函数即是三角函数的幂指数出现大于的情形，如：尸asin2x+bcos2x+csinxcosx、y=asin2x+bcosx等。此类三角函数最值的求解，常常利用三角函数的性质来求解。(3)分数型三角函数。分数型三角函数问题常常会给学生们的函数最值带来困难，尤其是对分母的存在性定义是很多学生容易遗忘的地方。例如y=^、y=■等。对于分式型三角函数，我们常常是将分数型转换成一次性，或是采用换元等方法，实现对分数型的转换和化简。二、三角函数最值问题求解策略(1)三角函数有界性求解。三角函数的最值问题归根到底都是函数的

3、有界性问题，在定义域不做限制的情况下，利用三角函数自身的有界性是解决基础性函数最值问题的有效手段。【例题】(2009年福建高考)已知函数f(x)=sin(?棕x+?渍)，其中？棕＞0，

4、?渍

5、彡国。①若cos^cos?渍-sinHsin?渍=0,求？渍的值。②在①的条件下，若函数f(x)的图像的两相邻的对称轴之间的距离等于■，求函数的解析式【分析】对于本题的第一问，我们可以利用三角函数的有界性直接快速得到答案。由sin«=sin可得到cosHcos?渍-sin^sin?渍=0，即cos(■+?渍)=0。此时，结合本题的限制

6、条件I?渍

7、＜国，于是可以得到？渍值为国。对于本题第二问，我们只要将？渍值带入后，利用三角函数的周期性，结合函数图像性质，我们即可求得具体的函数表达式。对于三角函数最基础的有界性、单调性、周期性等原则的掌握，是学生们解决函数最值问题的核心，只有学生们的函数基础扎实了，函数最值与其他数学知识的综合问题学生们才能求解的得心应手。(2)参数替换法求解。在高中数学函数教学中，学生们常常会产生畏惧情绪，面对一长串的三角函数表达式，他们常常会不知所措。对此，教师可以采用参数替换的方法，将原本的表迗式进行简化和合并，从而更加容易的发现其

8、中的最值求解之道。提到参数替换（换元）的方法，我们不得不再次提醒关于参数的取值范围问题，只有定义域判断正确，才能求出正确的值域和最值。【例题】求解函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域。【分析】对于本题，学生们最先想到的肯定是利用和差化积公式来求解。最终可以得到y=[sin（x+■]2-l当sin（x+国）=1时原三角函数可以取得最大值。但是，我们不妨尝试令t=sinx+cosx，于是原函数可以等价成y=t+(te■]），于是，只要利用二次函数的知识便可以快速得到该函数的值域。值得注意的就是函数变换中的中间量t

9、，其范围确定的正确性是影响本题解答的关键。（3）三角函数数形结合法。三角函数起源于三角形的边长关系中，对于正弦、余弦等三角函数最值问题的求解，采用单位圆的数形结合求法也是值得考虑的。在求解一些分数型的三角函数最值问题时，利用函数图像以及函数性质来求解往往才是出题者想要考察的重点。【例题】求y=^（0

10、求该曲线在圆周上半圆运动时的直线斜率的最小值。此后的工作就是利用直线与圆周相切的关系，求出该切线的斜率即是原函数的最小值。从本题的求解中，我们不难看出三角函数最值问题与几何图形之间的联系，也必须坚持三角函数多样化解题的教学，实现教学的系统性。总之，作为高中数学教师，我们必须注重数学教学的系统系和综合性，注重培养学生的数学思维，使学生们在面对函数最值问题时必然会更加得心应手。（江苏省射阳县高级中学）