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1、第十五讲:微积分初步1第十五讲:自主招生数学试题中的微积分初步杨老师专论（电话号码：2078159；手机号码：13965261699）中学数学中,微积分的引入,使得函数的学习更深入,解决中学数学问题的方法更广泛、更综合.微积分初步是中学数学与大学数学最直接的联接点,自主招生理应给予重点关注.自招与高考比较,自主招生则呈现出关注基础,着重应用的特点.联赛则专注于深层次的应用.Ⅰ.知识拓展1.极限导数:⑴极限定义:若ε>0,δ>0,使得x∈(x0-δ,x0)∪(x0,x0+δ),总有
2、f(x)-A
3、<ε,则f(x)=A.
4、⑵两边夹定理:若x∈(x0-δ,x0)∪(x0,x0+δ),总有f(x)≤g(x)≤h(x),且f(x)=h(x)=A,则g(x)=A;⑶导数定义:若函数f(x)在区间(x0-δ,x0+δ)内有定义,且存在等于A,则(x0)=A;⑷罗必塔定理:若f(x)=g(x)=0,且在(x0-δ,x0)∪(x0,x0+δ)内(x)、(x)都存在,则=.2.凸凹函数:⑴凸凹函数的定义:①函数f(x)的定义域为D,若对α、β∈D,不等式恒成立(其中等号当且仅当α=β时成立),则称f(x)是凸函数;(②函数f(x)的定义域为D,若对α
5、、β∈D,不等式恒成立(其中等号当且仅当α=β时成立),则称f(x)是凹函数.凸凹函数具有明显的几何直观.⑵凸凹函数判定定理:如果函数f(x)在其定义域D内的导数(x)都存在(称函数f(x)在D内可导),则:①函数f(x)在D内是凸函数导函数(x)在区间D内递减当x∈D时,不等式(x)≤0恒成立;②函数f(x)在D内是凹函数导函数(x)在区间D内递增当x∈D时,不等式(x)≥0恒成立.⑶琴生不等式:①如果函数f(x)在D内是凸函数,则x1,x2,…,xn∈D,不等式≥恒成立,其中等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立
6、;②如果f(x)在D内是凹函数,则x1,x2,…,xn∈D,不等式≤恒成立,其中等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立;⑷凸凹函数性质定理:①如果函数f(x)在区间D内是凸函数,则该函数的切线不在曲线的下方,即对x∈D,不等式f(x)≤(x0)x+f(x0)-x0(x0)恒成立;②如果函数f(x)在区间D内是凹函数,则该函数的切线不在曲线的上方,即对x∈D,不等式f(x)≥(x0)x+f(x0)-x0(x0)恒成立;③如果函数f(x)在点x0的左右两边的凸凹性相反,则称点x0是函数f(x)的拐点,点x0是函数f(x)
7、的拐点点x0是二阶导函数(x)的零点,且函数f(x)在其拐点处的切线在切点处穿过曲线y=f(x).3.切线问题:⑴三次函数切线位置定理:三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)在点P(x0,f(x0))处的切线为l,则:①当x0∈(-∞,)时,切线l不在曲线y=f(x)的下方;②当x0∈(,+∞)时,切线l不在曲线y=f(x)的上方;③当x0=时,切线l在切2第十五讲:微积分初步点P处穿过曲线.⑵三次函数切线定理:过曲线y=f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)上一点M(x0,f(x0))作该曲线的
8、切线,则:①当x0≠时,能作且只能作两条,其中一条是以点M为切点的切线;②当x0=时,能作且只能作一条,且是以点M为切点的切线.⑶切线条数定理:过点M(a,b)作曲线y=f(x)的切线,则可作的切线条数关于t的方程b-f(t)=(t)(a-t),即f(t)+(t)(a-t)-b=0相异实根的个数函数g(t)=f(t)+(t)(a-t)-b的零点个数.4.切线与不等式:⑴切线型:①如果函数f(x)的导函数(x)在(m,n)内递增,且曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))(其中x0∈(m,n))处的切线方程为y=ax
9、+b,则当x∈(m,n)时,不等式f(x)≥ax+b成立,等号当且仅当x=x0时成立;②如果函数f(x)的导函数(x)在(m,n)内递递减,且曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))(其中x0∈(m,n))处的切线方程为y=ax+b,则当x∈(m,n)时,不等式f(x)≤ax+b成立,等号当且仅当x=x0时成立.⑵公切线型:如果函数f(x)的导函数(x)在(m,n)内递增,函数g(x)的导函数(x)在(m,n)内递递减,且曲线y=f(x)与y=g(x)在公共点P(x0,y0)处的切线相同,则当x∈(m,n)时,不等
10、式f(x)≥g(x)成立,等号当且仅当x=x0时成立.⑶切线叠加型:①如果函数f(x)的导函数(x)在(m,n)内递增,且曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))(其中x0∈(m,n))处的切线方程为y=ax+b,则当x1,x2…,xn∈(m,n),且x1+x2+…+xn=m时,f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≥am+bn;②如果函数f
