资源描述：
《第讲自主招生数学试题中的排列、组合与二项定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十八讲:排列、组合与二项式定理1第十八讲:自主招生中的排列、组合与二项式定理杨老师专论（电话号码：2078159；手机号码：13965261699）排列、组合、二项式定理是研究古典概率的基础,也是组合数学的基础,在自主招生考试中占有比较重要的地位.自主招生考试中的排列、组合、二项式定理,与高考相比,则呈现出灵活与广泛的特性,与联赛比较则突现基础与单纯的特点.Ⅰ.知识拓展1.计数方法:①映射方法:当直接计算集合A的元素个数
2、A
3、较困难时,着意于寻找,或构造容易计算其个数的集合B,并设法建立一个A到B的一一映射f,由映射定理知
4、A
5、=
6、B
7、
8、,这种思想方法就称为映射方法.②不定方程:不定方程x1+x2+…+xn=m(n,m∈N+,n≥2,m≥n)正整数解的个数为Cm-1n-1,它与计数问题有紧密联系,利用该结论可解决一类计数问题.③递推计数:利用递推思想解决计数问题的程序是:一是求初始值:a1,a2等;二是建立an与an-1,an-2等的关系式;三是求an.2.组合等式:①基本性质:Cnn-k=Cnk;kCnk=nCn-1k-1;Cn-1k-1+Cn-1k=Cnk;Cn0+Cn1+…+Cnn=2n;Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2n-1;CnkCkm
9、=Cn-mk-m;②常用等式:Cnn+Cn+1n+Cn+2n+…+Cn+kn=Cn+k+1n+1;范德蒙等式:=Cn+mk;③证明方法:性质法:利用组合数的上述基本性质;二项式定理法:通过对二项式展开式进行变形(求导,或积分),然后赋值(含复数);模型法:构造组合模型,并对某同一个计数问题利用两种方法计算.Ⅱ.归类分析1.分类枚举:[例1]:(2008年复旦大学保送生考试试题)设A={a1,a2,a3}是由三个不同元素组成的集合,且T是A的子集族,满足性质:空集和A属于T,并且T中任何两个元的交集和并集还属于T,问所有可能的I的个数为()
10、(A)29(B)33(C)43(D)59[解析]:[练习1]:1.(2007年复旦大学保送生考试试题)三边均为整数,且最大边长为11的三角形共有()个(A)20(B)26(C)30(D)362.①(2006年复旦大学保送生考试试题)对于一个四位数,其各位数字中至多有两个不相同,试求共有多少个这种四位数？②(2007年武汉大学保送生考试试题)一个口袋中装有大小相同的3个红球和2个白球,从袋中每次至少取一个球,共4次取完,那么不同的取球方式共有()(A)40种(B)28种(C)16种(D)10种2.分步计数:[例2]:(2007年复旦大学保送
11、生考试试题)在集合{1,2,…,11}中任选两个数作为椭圆方程+=1中的a和b,则能组成落在矩形区域{(x,y)
12、
13、x
14、<11,
15、y
16、<9内的椭圆个数是()(A)70(B)72(C)80(D)88[解析]:[练习2]:2第十八讲:排列、组合与二项式定理1.①(2009年复旦大学保送生考试试题)设有n+1个颜色不同的球,放入n个不同的盆子中,要求每个盒子至少有一个球,则不同的放法有()种.(A)(n+1)！(B)n(n+1)！(C)(n+1)！(D)n(n+1)！②(2008年武汉大学保送生考试试题)7个人站在一排,如果甲必须站在正中间,并
17、且乙、丙两人不站在两端,那么排法数为.③(2008年武汉大学保送生考试试题)某停车场内有序号为1、2、3、4、5的五个车位顺次排成一排,现在A、B、C、D四辆车需要停放,若A、B两车停放的车位必须相邻,则停放方式种数为()(A)120(B)48(C)24(D)12④(2008年武汉大学保送生考试试题)记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,有多少种排法？⑤(2003年复旦大学保送生考试试题)划船时有8人,有3人只能划右边,1人只能划左边,共有种分配方法(注:划船时两边各4人).⑥(2004年复旦
18、大学保送生考试试题)12只的手套(左右手有区别)形成6双不同的搭配,要从中取出4只正好能形成2双,有_____种取法.2.①(2006年武汉大学保送生考试试题)如果9名同学分别分到三个不同的工厂进行社会实践调查活动,每个工厂3人,那么不同的分配方案共有()(A)C93C63C33种(B)3C93C63C33种(C)C93C63C33A33种(D)种②(2008年上海交通大学保送生考试试题)通信工程中常用n元数组(a1,a2,…,an)表示信息,其中ai=0或1(i、n∈N*).设u=(a1,a2,…,an),v=(b1,b2,…,bn),
19、d(u,v)表示u和v中相对应的元素不同的个数.(Ⅰ)u=(0,0,0,0,0),问存在多少个5元数组v,使得d(u,v)=1;(Ⅱ)u=(1,1,1,1,1),问存在多少个5元数组v,使得d
