第01讲自主招生数学试题的特点

《第01讲自主招生数学试题的特点》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第01讲:自主招生数学试题的特点1第01讲:自主招生数学试题的特点杨老师专论（电话号码：2078159；手机号码：13965261699）自从2006年全国重点院校高考改革试点“破冰”以来,各高校“深化自主选拔录取改革试验”招生方案不断出台.全国自主招生学校数目不断增加,而且各校自主招生规模比例也在增加,自主招生己不是少数人参加的“特技”考试,早在2008年上海交大、复旦大学通过自主招生录取的人数就首次超过高考录取的人数,而是广大考生进入重点高等学校的重要途径.数学在自主招生考试中处于龙头的位置,占领数

2、学,就能取胜于自主招生考试.但由于自主招生考试没有考试大纲,且各校命题都充分利用其“自主性”,使得自主招生考试的数学试题,呈现出范围的不确定性,难度度量的不统一性,题型的多样性,有别于高考和竞赛等的基本特性.所有这些都使考生不知如何准备？老师无法进行总结辅导.通过对近年来各校自主招生考试数学试题,可以发现自主招生考试数学试题有如下特点:1.基础的深入性:基础知识、基本技能称之为“双基”大家知道,能力与“双基”有着辩证关系.没有扎实的“双基”,能力培养就成了无源之水,无本之木.所以,“双基”是各种考试的基

3、本要求,但自主招生考试则对“双基”的要求则更深入.[例1]:(2012年“北约”自主招生数学试题)求+=1的实根的个数.[解析]:[练习1]:1.(2005年上海交通大学保送生考试试题)已知=-,x,y∈R,则(x,y)=.2.(2005年复旦大学基地班数学试题)在实数范围内求方程+=3的实数根.[例2]:(2011年“北约”自主招生数学试题)是否存在四个正实数,它们两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？[解析]:[练习2]:1.(2007年北京大学自主招生数学试题)解方程组.2.(2000年上海交

4、通大学保送生数学试题)设3次多项式f(x)满足:f(x+2)=-f(-x),f(0)=1,f(3)=4,试求f(x).[例3]:(2010年“北约”自主招生数学试题)0<α<,求证:sinα<α

5、β.2第01讲:自主招生数学试题的特点2.方法的灵活性:方法是数学的灵魂,各类考试的中心是突出对思想方法的考察.自主招生考试则对思想方法的考察有更高层次的要求,更突显方法的深刻性.[例4]:(2007年上海交大冬令营试题)设f(x)=(1+a)x4+x3-(3a+2)x2-4a,试证明对任意实数a:(Ⅰ)方程f(x)=0总有相同实根;(Ⅱ)存在x0,恒有f(x0)≠0.[解析]:[练习4]:1.(2004年上海交通大学保送生考试试题)f(x)=ax4+x3+(5-8a)x2+6x-9a.证明:(Ⅰ)总有

6、f(-3)=0;(Ⅱ)总有f(3)≠0.2.(2006年上海交通大学推优、保送生考试数学试题)设k≥9,解方程x3+2kx2+k2x+9k+27=0.[例5]:(2011年“北约”自主招生数学试题)求过抛物线y=2x2-2x-1,y=-5x2+2x+3两交点的直线方程.[解析]:[练习5]:1.(2007年北京大学自主招生数学试题)已知圆系方程x2+y2+kx+(4k+10)y+10k+20=0(k∈R,k≠-1),求证:它过定点.2.(2007年天津高考试题)己知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(

7、y-3)2=20相交于A、B两点,则直线AB的方程是.[例6]:(2002年上海交通大学保送生考试试题)设数列{an}满足关系an+1=2an2-1(n=1,2,…),若N满足aN=1(N=2,3,…).试证明:(Ⅰ)

8、a1

9、≤1;(Ⅱ)a1=cos(k为整数).[解析]:[练习6]:1.(《中等数学》.2007年第12期.数学奥林匹克高中训练题(104))已知数列{an}满足:a1=1,an+1=an+.求证:a1+a2+…+an>.2.(《中等数学》.2007年第12期.数学奥林匹克问题高214)设

10、正数列{an}满足:a1=,a2=,且8an+14+4an+an-1=3(n≥2).求数列{an}的通项an.3.知识的广泛性:知识是数学的载体,是各类考试命题的基础,因此,如高考、全国联赛等均有限定知识范围及掌握程度的考试大纲.但自主招生考试因其“自主性”的特点,没有也不可能有考试大纲.自主招生考试包含并超出高考大纲,知识要求更加广泛,掌握程度有更高要求,但有别于联赛大纲.[例7]:(2008年清华大学自主招生数学试题)设a,b,c都为有