第17讲自主招生数学试题中的不等式证明

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1、第十七讲:不等式证明1第十七讲:自主招生数学试题中的不等式证明杨老师专论（电话号码：2078159；手机号码：13965261699）不等式的证明(包括多元函数的最值):在高考中,主要与导数、数列综合,单纯的不等式证明属于选考;在联赛中,不等式证明是联赛中的重点题型,并且可能出现在一试,或二试中;在自招中,不等式的证明是重点、难点问题,其难度不底于联赛一试中的不等式难度.Ⅰ.知识拓展加权琴生不等式:①如果函数f(x)在D内是凸函数,且=1,则x1,x2,…,xn∈D,不等式f()≥恒成立;②如果f(x)在D内是凹函数,则x1,x2,…,xn∈D

2、,不等式f()≤恒成立.Ⅱ.归类分析1.分析法:[例1]:(2001年复旦大学保送生考试试题)证明:方程x3-2y2=1的任一组整数解(x,y)(y≠0)都满足:

3、-

4、<.[解析]:由x3-2y2=1()3-()3=(-)[()2++()2]=

5、-

6、

7、()2++()2

8、=

9、

10、;所以,

11、-

12、<4

13、()2++()2

14、>14[(+)2+()2]>14(+)2+3()2>1成立.[练习1]:1.①(2009年中科大保送生考试数学试题)求证:对x,y∈R,x2+y2+xy≥3(x+y-1)恒成立.②(2008年浙江大学保送生考试试题)已知A、B、C是△A

15、BC的三个内角,求证:cosB+cosC+≥4sin.③(2005年全国高中数学联赛江西初赛试题)△ABC的三条边长为a,b,c,证明:+≥2.①(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)设x>0,y>0,n∈N+.求证:+≤.②(2006年全国高中数学联赛福建初赛试题)非负实数a,b,c满足a2+b2+c2+abc=4,求证:0≤ab+bc+ca−abc≤2.③(2005年全国高中数学联赛福建初赛试题)设a,b,c是正整数,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两实数根的绝对值均小于,求a+b+c的最小值.2.均值不等式:[例2]:(20

16、09年清华大学自主招生数学试题)已知x、y、z>0,a、b、c是x、y、z的一个排列.求证:++≥3.[解析]:由a、b、c是x、y、z的一个排列abc=xyz;由均值不等式得:++≥3=3.[练习2]:1.①(2006年全国高中数学联赛山西初赛试题)设a,b,c∈(1,+∞),证明:2(++)≥.②(2008年全国高中数学联赛福建初赛试题)求最小的正实数k,使得不等式ab+bc+ca+k(++)≥9对所有的正实2第十七讲:不等式证明数a,b,c都成立.③(2012年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)已知正实数x,y,z满足9xyz+xy+yz

17、+zx=4.求证:(Ⅰ)xy+yz+zx≥;(Ⅱ)x+y+z≥2.2.①(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)设三个正实数x、y、z.试求代数式的最大值.②(2012年全国高中数学联赛广东初赛试题)设非负实数a,b,c满足a+b+c=3.求S=(a2-ab+b2)(b2-bc+c2)(c2-ca+a2)的最大值.③(2006年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设x,y,z为正实数,求函数f(x,y,z)=的最小值.3.柯西不等式:[例3]:(2009年南京大学保送生考试试题)P为△ABC内一点,它到三边BC、CA、AB的距离分别为d1、d2、d

18、3,S为△ABC的面积.求证:++≥(这里a、b、c分别表示BC、CA、AB的长).[解析]:因S=ad1+bd2+cd32S=ad1+bd2+cd3,所以,++≥2S(++)≥(a+b+c)2(ad1+bd2+cd3)(++)≥(a+b+c)2,而这恰有柯西不等式可得.[练习3]:1.①(2000年上海交通大学保送生考试试题)证明:1≤+≤,x∈[0,].②(2010年浙江大学自主招生数学试题)小于1的正数x1,x2,…,xn,满足x1+x2+…+xn=1,求证:++…+>4.③(2008年南开大学保送生考试试题)设a、b、c为正数,且a+b

19、+c=1,求(a+)2+(b+)2+(c+)2的最小值.2.①(2012年全国高中数学联赛河北初赛试题)设a,b,c∈R+,且++=3,求证:++≥,并指明等号成立的条件.②(2009年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设a,b,c,d为正实数,且a+b+c+d=4.证明:+++≥4+(a-b)2.③(2008年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知1

20、为非负数,M=a4+b4,a+b=1,求M的最值.[解析]:因a+b=1,故可设a=+t,b=-t,t∈[-,],则M=a4+b4=(a2+b2)2-