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1、工业机器人湖北工业大学机械工程学院主讲：张铮第2章工业机器人的运动学2.1齐次坐标及对象物的描述2.2齐次变换及运算2.3工业机器人连杆参数及其齐次变换矩2.4工业机器人运动学方程2.1齐次坐标及对象物的描述一、点的位置描述在选定的直角坐标系{A}中,空间任一点P的位置可用3×1的位置矢量p表示,其左上标代表选定的参考坐标系pxp=pypz式中:px、py、pz是点P在坐标系{A}中的三个位置坐标分量,如图二、齐次坐标如用四个数组成的(4×1)列阵PxP=PyPz1表示三维空间直角坐标系{A}中点P,则列阵[PxPyPz1]称为三维空间点P的齐次坐标。必须注意,齐次
2、坐标的表示不是惟一的。我们将其各元素同乘一非零因子w后,仍然代表同一点P,即PxaP=Py=bPzc1w式中:a=wpx;b=wpy;c=wpz。三、坐标轴方向的描述如图所示,i、j、k分别是直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位向量。若用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向,则X=[1000]TY=[0100]TZ=[0010]T从上可知,我们规定:(4×1)列阵[abc0]T中第四个元素为零,且a2+b2+c2=1,则表示某轴(某矢量)的方向;(4×1)列阵[abcw]T中第四个元素不为零,则表示空间某点的位置。图中矢量v的方向用(4×1)列阵可表达为v=[abc0]T
3、a=cosα,b=cosβ,c=cosγ图中矢量v所坐落的点O为坐标原点,可用(4×1)列例2-1用齐次坐标写出图2-3中矢量u、v、w的方向列阵。解矢量u:cosα=0,cosβ=0.7071067,cosγ=0.7071067u=[00.70710670.70710670]T矢量v:cosα=0.7071067,cosβ=0,cosγ=0.7071067v=[0.707106700.70710670]T矢量w:cosα=0.5,cosβ=0.5,cosγ=0.7071067w=[0.50.50.70710670]T四、动坐标系位姿的描述动坐标系位姿的描述就是对动
4、坐标系原点位置的描述以及对动坐标系各坐标轴方向的描述。1.刚体位置和姿态的描述设有一刚体Q,如图2-4所示,O′为刚体上任一点,O′X′Y′Z′为与刚体固连的一个坐标系,称为动坐标系刚体Q在固定坐标系OXYZ中的位置可用齐次坐标形式的一个(4×1)列阵表示为：x0p=y0z01刚体的姿态可由动坐标系的坐标轴方向来表示。令n、o、a分别为X′、Y′、Z′坐标轴的单位方向矢量,每个单位方向矢量在固定坐标系上的分量为动坐标系各坐标轴的方向余弦,用齐次坐标形式的(4×1)列阵分别表示为n=[nxnynz0]T,o=[oxoyoz0]T,a=[axayaz0]T因此,图2-4
5、中刚体的位姿可用下面(4×4)矩阵来描述:nxoxaxx0T=[noap]=nyoyayy0nzozazz00001很明显,对刚体Q位姿的描述就是对固连于刚体Q的坐标系O′X′Y′Z′位姿的描述。例2-2图2-5表示固连于刚体的坐标系{B}位于OB点，xb=10,yb=5,zb=0。ZB轴与画面垂直,坐标系{B}相对固定坐标系{A}有一个30°的偏转,试写出表示刚体位姿的坐标系{B}的(4×4)矩阵表达式。解XB的方向列阵:n=[cos30°cos60°cos90°0]T=[0.8660.5000.0000]TYB的方向列阵:o=[cos120°cos30°cos9
6、0°0]T=[-0.5000.8660.0000]TZB的方向列阵:a=[0.0000.0001.0000]T坐标系{B}的位置列阵:p=[10.05.00.01]T所以,坐标系{B}的(4×4)矩阵表达式为0.866-0.5000.00010.0TT=0.5000.8660.0005.00.0000.0001.0000.000012.手部位置和姿态的表示机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐标系{B}的位姿来表示,如图所示。手部的位姿可用(4×4)矩阵表示为：nxoxaxpx[noap]=nyoyaypynzozazpz0001例2-3图表示手部抓握物体Q,
7、物体为边长2个单位的正立方体,写出表达该手部位姿的矩阵式。解因为物体Q形心与手部坐标系O′X′Y′Z′的坐标原点O′相重合,所以手部位置的(4×1)列阵为p=[1111]T手部坐标系X′轴的方向可用单位矢量n来表示:α=90°,β=180°,γ=90°n:nx=cosα=0ny=cosβ=-1nz=cosγ=0同理,手部坐标系Y′轴与Z′轴的方向可分别用单位矢量o和a来表示，根据式(2-8)可知,手部位姿可用矩阵表达为0-101T=[noap]=-100100-1100012.2齐次变换及运算刚体的运动是由转动和平移组成的。为了能用同一矩阵表示转动和平移,有必要
