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1、第三章工业机器人运动学-2主要内容数学基础——齐次坐标变换机器人运动学方程的建立（正运动学）机器人逆运动学分析二、运动学方程的建立（运动学正问题）2.1引言2.8T6的说明2.2姿态描述2.9各种A矩阵的说明2.3欧拉角2.10根据A矩阵来确定T62.4摇摆、俯仰和偏转2.11斯坦福机械手的运动方程2.5位置的确定2.12肘机械手的运动方程2.6圆柱坐标2.13小结2.7球坐标2.1引言(Introduction)本章，我们采用齐次变换来描述在各种坐标系中机械手的位置与方向。首先介绍各种正交坐标系的齐次变换。然后介绍在非正交
2、关节坐标系中描述机械手末端的齐次变换。注意，对任何数目关节的各种机械手均可以这样进行。描述一个连杆与下一个连杆之间关系的齐次变换称A矩阵。A矩阵是描述连杆坐标系之间的相对平移和旋转的齐次变换。连续变换的若干A矩阵的积称为T矩阵，对于一个六连杆（六自由度）机械手有T6=A1A2A3A4A5A6（2.1）六连杆的机械手有六个自由度，其中三个自由度用来确定位置，三个自由度用来确定方向。Ｔ６表示机械手在基坐标中的位置与方向。则变换矩阵Ｔ６有下列元素nxoxaxpxnyoyaypyT6=nzozazpz（2.2）0001如图2.1所示
3、，机器人的末端执行器（手爪）的姿态（方向）由n、o、a三个旋转矢量描述，其坐标位置由平移矢量p描述，这就构成了式（2.2）中的变换矩阵T。由于n、o、a三个旋转矢量是正交矢量，所以有n=o×a图2.1末端执行器的描述2.2姿态描述(SpecificationofOrientation)对式（2.2）中16个元素一一赋值就可确定T6。假定机械手可以到达要求的位置，而单位旋转矢量o和a正交，即o·o＝1（2.3）a·a＝1 （2.4）o·a＝0（2.5）a形成单位向量aa（2.6）
4、a
5、构成与o和a正交的nno×a（2.
6、7）在o和a形成的平面上旋转o，使得o与n和a正交oa×n（2.8）单位向量o是oo（2.9）
7、o
8、根据数学基础给出的一般性的旋转矩阵Ｒot(k,θ)，它把机械手末端的姿态规定为绕k轴旋转θ角。2.３欧拉角(EulerAngles)姿态变更常用绕x,y或z轴的一系列旋转来确定。欧拉角描述方法是：先绕z轴旋转ø，然后绕新的y(即y/)轴旋转θ，最后绕更新的z(z//)轴旋转ψ（见图2.2）欧拉变换Euler(ø,θ,ψ)可以通过连乘三个旋转矩阵来求得Euler(ø,θ,ψ)＝Ｒot(z,ø)Ｒot(y,θ)Ｒot(z,ψ)（2
9、.10）在一系列旋转中，旋转的次序是重要的。应注意，旋转序列如果按相反的顺序进行，则是绕基坐标中的轴旋转：绕z轴旋转ψ，接着绕y轴旋转θ，最后再一次绕z轴旋转ø，结果如图2.3所示，它与图2.2是一致的。xx’x’’x’’’yy’’y’θøθøψψψθz’’’z’’z’zy’’’图2.2欧拉角ø0xx’x’’x’’’yy’’y’θøθøψψψθz’’’z’’z’zy’’’图2.3基于基坐标的欧拉角ø0øθ2.4摇摆、俯仰和偏转(Roll,PitchandYaw)摇摆、俯仰和偏转为另一种旋转。如图2.4所示，就像水中航行的一条
10、小船一样，绕着它前进的方向（z轴）旋转ø称为摇摆，绕着它的横向中轴（y轴）旋转θ称为俯仰，绕着它甲板的垂直向上的方向（x轴）旋转ψ称为偏转。借助于这种旋转来描述机械手的末端执行器如图3.5所示。规定旋转的次序为RPY(ø,θ,ψ)＝Ｒot(z,ø)Ｒot(y,θ)Ｒot(x,ψ)（2.12）即，绕x轴旋转ψ，接着绕y轴旋转θ，最后绕z轴旋转ø，这个变换如下cosθ0sinθ0100001000cosψ–sinψ0RPY(ø,θ,ψ)=Ｒot(z,ø)–sinθ0cosθ00sinψcosψ0（2.13）00010001cos
11、ø–sinø00cosθsinθsinψsinθcosψ0sinøcosø000cosψ–sinψ0RPY(ø,θ,ψ)=0010-sinθcosθsinψcosθcosψ0（2.14）00010001图2.4摇摆、俯仰和偏转角图2.5机械手的末端执行器的摇摆、俯仰和偏转RPY(ø，θ，ψ)=cosøcosθcosøsinθsinψ–sinøcosψcosøsinθcosψ+sinøsinψ0sinøcosθsinøsinθsinψ+cosøcosψsinøsinθcosψ–cosøsinψ0-sinθcosθsinψcos
12、θcosψ00 0 01（2.15）2.5位置的确定(SpecificationofPosition)一旦方向被确定之后，用一个相应的p向量的位移变换可得到机器人末端执行器在基坐标中的位置：100px010pyT6=001pz（2.
