随机环境下的接触过程.ppt

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1、随机环境下的接触过程陈新兴北京大学数学科学学院背景•Harris,Contactinteractionsonalattice,1974•给定图G=(V,E);•接触过程(At),定义在V的子集上的一个Markov过程•对每个顶点x,如果x∈At,称顶点x在t时刻被传染;否则,称顶点x健康.AA{x}以速率1AA{x}以速率#{y:(x,y)E,yA}存在临界值c当c以正概率存活:t,At当c以概率一灭绝:t,AtZ上的接触过程:1.65cdZ上接触过程的一些主要结论•临

2、界接触过程必然灭绝•完全收敛定理APr()Pr()t•线性增长BezuidenhoutandGrimmett,Thecriticalcontactprocessdiesout,1990随机环境下的接触过程AA{x}以速率(x)AA{x}以速率(y,x)取(x)1，且{(x,y),

3、xy

4、1}i.i.d.如果Elog0,那么A概率一灭绝td1,21如果E21,那么At正概率存活22d当d充分大，且Elog(1)充分小，A概率一灭绝tLigge

5、tt(1991,1992),Klein(1994)d取1，且{(x),xZ}i.i.d.以概率pgood(x)以概率1pbad当0固定时，bad线性增长的临界值:inf{0:liminfdiameter(A)/t0}t存活的临界值cBramson,Durrett,andSchonmann,(1991)Conjecture.Suppose,pp(site)andletbadcsup{:Pr(Asurvives)0}.Ifthereisanonran

6、domccconvexsetDsothatifC{xthatcanbereachedfrom0bya0pathofgoodsites}and0thena.s.on{Asurvives}:t(1)DCAt(1)Dfort0t我的工作和姚强同学合作d从ZZ上随机取子图G，满足eE(G)当且紧当(e)1.1以概率p(e)0以概率1p在图G上服从参数为的接触过程前面两种模型的特例:以概率p取(x)1,且(x,y)0以概率1p1以概率p取(x,y),

7、且(x)以概率1p已得到结论•临界接触过程必然灭绝•完全收敛定理•线性增长完全收敛定理的等价命题APr()Pr()tBBPr(ylimsupA)Pr(Asurvives)对所有的xG和BGtB0(l)Pr(AB(l))1limliminft0lt0liminfPr(0A)0t假设0Pr(Asurvives)0p,0[r,r]那么Pr(Asurvives)1p,0Pr(Asurvives)0p,[-r,r]情况I情况II

8、[a,b]0[ac,bc][0,)711[a,b]0[ac,bc][T,T]66[a,b][0,T][ac,bc][T,2T][a,b][0,T][acn,bcn][(2n1)T,2nT][a,b][0,T][e,f][8n4T,8nT]一些问题dd1ZZZ,d1dd1?Pr(AsurvivesonZZ)0Pr(AsurvivesonZ)0p,p,完全收敛定理成立Conjection,ShapeTheorem当p和满足什么条件，接触过程

9、存活或灭绝谢谢