曲边梯形的面积及汽车行驶的路程.ppt

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1、学习目标:(1)探求曲边梯形的面积;(2)了解定积分的实际背景;(3)了解“以直代曲”及“逼近”的思想方法.1.5曲边梯形的面积及汽车行驶的路程创设问题求由直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形(曲边三角形)面积S是多少？xyO1方案1方案2方案3思路:为了计算曲边三角形的面积S,将它分割成许多小曲边梯形.y=f(x)baxyOA1A1A1AA1.用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A,得AA1+A2用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A,得y=f(x)baxyOA1A2AA1+A2+A3+A4用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面

2、积A,得y=f(x)baxyOA1A2A3A4y=f(x)baxyOAA1+A2++An将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，则有曲边梯形的面积A近似为:A1AiAn分割越细,面积的近似值就越精确.当分割无限变细时,这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S.下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程:（1）分割把区间[0，1]等分成n个小区间：过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作:（2）以直代曲（3）作和（4）逼近分割以直代曲作和逼近以上计算曲边梯形面积用流程图表示为：其中最能体现微积分

3、思想的是“以直代曲”.当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小）,从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi)△x来近似表示小曲边梯形的面积：表示了曲边梯形面积的近似值.y=f(x)baxyOx1xi-1xixn-1x2xif(xi)x1x2f(x1)f(x2)f(xi)xi在[a,b]中任意插入n-1个分点．得n个小区间：[xi1,xi](i=1,2,···,n)．把曲边梯形分成n个细窄曲边梯形．任取xi[xi1,xi],以f(xi)Dxi近似代替第i个窄曲边梯形的面

4、积．区间[xi1,xi]的长度Dxixixi1．曲边梯形的面积近似为：A[例1]求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．[分析]只要按照分割、近似代替、求和、取极限四步完成即可．过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.(2)近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积：(3)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即[点评](1)分割的目的在于更精确地“以直代曲”．上例中以“矩

5、形”代替“曲边梯形”，随着分割的等份数增多，这种“代替”就越精确．当n愈大时，所有小矩形的面积就愈逼近曲边梯形的面积．(3)求曲边梯形的面积，通常采用分割、近似代替、求和、取极限的方法．[例2]已知某运动物体做变速直线运动，它的速度v是时间t的函数v(t)，求物体在t＝0到t＝t0这段时间内所经过的路程s.(2)近似代替在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的距离：(3)求和因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做匀速直线运动的路程近似代替，所以在时间[0，t0]范围内物体运动的距离s就可以用这一物体分别在n个小区间上做n个匀速直线运

6、动的路程和近似代替，(4)取极限求和式①的极限：[点评]求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．三、解答题4．汽车行驶的速度为v＝t2，求汽车在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s.[解析](1)分割