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1、数学分析数学是科学的大门和钥匙.—培根主讲冼军(MathematicalAnalysis)11.集合(set)概念与记号具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该一、集合集合元素(简称元)(集)元素(element).集合的通常以大写字母等表示集合,以小写字母等表示集合的元素.否则记记作或第一章绪论2映射与函数集合分类有限集无限集只含有限个元素;不是有限集的集合.列举法表示集合方法有两种描述法把集合的全部元素一一列出来,例考察由下列元素可以用列举法将其表示成列举法有很大的局限性.组成的集合外加花括号.3映射与函数如:由不超过的奇数组成的集合,其元素有50亿个
2、,要把它们全部写出来,且有很多集合,其元素是很多纸张!根本无法一一罗列出来.得用很多时间,不可数的,更常用的是列出规定这个集合特定性质P的办法来表示集合,就是描述法.花括号中竖线前的x而竖线后是M中元素的通用符号,则是x所具有的性质.可用列举法表示为的根组成的集合也可用描述法表示为例由方程4映射与函数注对几个常用的数集规定记号如下数集的字母的数集内排除0的集.“ ”“ ”数集内排除0与负数的集.全体非负整数即自然数的集合N即N,全体正整数的集合为N+全体整数的集合记作Z,即Z右上角标上:5两个集合一般地,如则映射与函数子集则称集合A与B相等,记作则称2.集合(set)的
3、关系及集合的运算(1)集合的关系子集,(读作A包含于B)或(读作B包含A).集合相等记作6映射与函数如空集.不含任何元素的集合称为则称真子集记作如NZQR.真子集,空集规定空集为任何集合的子集.今后在提到一个集合时,一般都是如不加特别声明,非空集.7映射与函数2.集合(set)的关系及集合的运算集合的基本运算有三种:并集,交集,差集.即记作设A,B是两个集合,由所有属于A称为A与B的并集,A∪BA∪B,(2)集合的运算于B元素或者属组成的集合,8映射与函数称为A与B的记作即交集,由所有既属于A由所有属于A称为A与B的差集,记作即又属于B元素集合的基本运算有三种:并,交,
4、差.A∩BA∩B,组成的集合,而不属于B的元素组成的集合,两个集的并与交可推广到任意多个集推广并与交.9映射与函数注研究某个问题时所考虑的对象的全体记作例如,则余集或补集.A∪BA∩B并用I表示,称为全集或基本集,并把差积特别称为A的例如,在实数集R中,集合的余集103.集合(set)的运算法则映射与函数为任意三个集合,则下列法则成立:(1)交换律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;(2)结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C);(3)分配律(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C);(4)对偶律(A∪B)C=
5、AC∩BC,(A∩B)C=AC∪BC;11映射与函数(5)幂等律A∪AA∩A(6)吸收律A∪=A,=A;=A,A∩=4.直积(乘积集或笛卡儿乘积)法国数学家、哲学家(Descartes1596~1650年)设A,B是两个集合,则称为A,B的直积.如,又如,即为xOy面上全体点的集合,常记作即12§2实数连续统数系一个数集如果它上面定义了若干种运算（不管封闭与否），这些运算满足一定的规律，那末称是一个数系.13自然数系Property（1）加法交换律：（2）加法结合律：（3）乘法交换律：（4）乘法结合律：（5）加法与乘法的分配律：（6）对加法，乘法运算封闭.14整数系有理
6、数系Property（1）减法在中封闭；（2）除法在中封闭；（3）具有稠密性，而无.15顺序关系数系上的顺序关系是指满足下面两个性质的关系：（A）下列关系中有且只有一个成立：（B）传递性：若则在有理数系中，还满足对加法和乘法的不变性：（C）若则（D’）若则16分划Def1.1若把一个有大小顺序的数系分成两类，满足下面的性质：（1）不空：（2）不漏：或者或者（3）不乱：对任意有则称为数系的一个分划，记为称为分划的下类，称为上类.17戴德金（Dedekind）连续性准则设是一个有大小顺序的稠密数系，若对它的任一分划都存在唯一的均有则称连续.Property有理数系非连续集.
7、实数基本定理（Dedekind实数连续性定理）实数系为连续集.18映射小结思考题作业函数第二章函数第一节映射与函数(Function)(mapping)(function)第二章函数195.区间(interval)区间是指介于某两个实数之间的全体实数.称为称为这两个实数叫做区间的端点.映射与函数开区间,闭区间,20称为有限区间无限区间映射与函数半开半闭区间.全体实数的集合R也可记作是无限区间.21映射与函数区间长度的定义两端点间的距离(线段的长度)称为区间的今后在不需要辨明所论区间是否包含有限区间、称它为“区间”,常用I表示.长度.无限区
