2012考研数学线性代数讲义 尤承业.pdf

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1、2012考研基础班线性代数主讲：尤承业欢迎使用新东方在线电子教材考研基础班线性代数讲义第一讲基本概念线性代数的主要的基本内容：线性方程组矩阵向量行列式等一．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:axaxaxb,1111221nn1a21x1a22x2a2nxnb2,axaxaxb,m11m22mnnm其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n个数C1,C2,„,Cn构成,它满足:当每个方程中的未知数x1都用C1替代时都成为等式.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.线性方程组的解的

2、情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.axbycdxeyf如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解.齐次线性方程组:b1b2bn0的线性方程组.0,0,„,0总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).二.矩阵和向量1.基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.矩阵由数排列成的矩形表格,两边界以圆括号或方括号,m行n列的表格称为mn矩阵.这些数称为他的元素,位于第i行j列的元

3、素称为(i,j)位元素.321045是一个23矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵a11a12a1na11a12a1nb1aaaaaab21222n21222n2A(A)和aaaaaabm1m2mnm1m2mnm为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.2009年的一个题中,一个方程组的系数矩阵为11111111,常数列为,则方程组为0122x1-x2-x31,-x1x2x3-1,-x-2x2.2n由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的

4、分量.零矩阵:元素都是0的矩阵.零向量:分量都是0的向量.2.矩阵和向量的关系书写中可用矩阵的形式来表示向量:写成一行或写成一列.32问题:(3,-2,1)和是不是一样?1作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是13矩阵,右边是31矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.一个mn的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量;每一列是一个m维向量,称为它的列向量.3.n阶矩阵与几个特殊矩阵nn的矩阵叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵:对角矩阵:对角线外的的元素都为0的

5、n阶矩阵.数量矩阵:对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵.单位矩阵:对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).上三角矩阵:对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵:对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.T对称矩阵:满足AA矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.问题:下列矩阵都是什么矩阵?100c002110000c0017①②③00200c000011000120000④⑤100000对角矩阵:①、②、⑤上三角矩阵:①、②、③、⑤下三角矩阵:①、②、⑤对称矩阵:①、②、④、⑤三.线性运算和转置1.线性运算是矩阵和

6、向量所共有的.①加(减)法:两个mn的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是mn矩阵,记作A+B(A-B),法则为对应元素相加(减).045143102117206311两个同维数的向量可以相加(减),规则为对应分量相加(减).②数乘:一个数c与一个mn的矩阵A可以相乘,乘积仍为mn的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.一个数c与一个n维向量可以相乘,乘积仍为n维向量,记作c.法则为的每个元素乘c.c000c0cE00c向量组的线性组合:设1，2„，s是一组n维向量,c1,c2,„,cs是一组数,则称c1a1c2a2csas

7、为1，2„，s的(以c1,c2,„,cs为系数的线性组合.314A507例:求矩阵的列向量组的系数为1,1,1的线性组086合.314650712解:08622.转置把一个mn的矩阵A行和列互换,得到的nm的矩阵称为A的转置,T记作A.10T1535808737TTT(AB)ABTT(cA)cA1T(1.2.3)即23四.矩阵的初等变换和阶梯形矩阵1.初等变换矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有3类.初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一