考研线性代数2012上课讲义经典收藏

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1、第一节，行列式N级排列概念逆序与逆序数概念，奇排列，偶排列对换概念，对换一次就改变了排列的奇偶性，交换行列式任意两行或两列，行列式符号改变。N阶行列式定义注：可以将行定成标准排列，符号看列逆序数；或将列定成标准排列，符号看行的逆序数。上下三角行列式：第二节行列式的性质1.互换行列式行与列，行列式值不变，即转置矩阵2.互换两行（列），其值不变，行列式值变号若某两行（列）元素相同，则D=0交换奇数次行（列），行列式变号，交换偶数次，不变号。3.行列式某行（列）公因子可以提到行列式之外。若D中有一行（列）元素为0，则D=0若D中有两

2、行（列）元素对应成比例，则D=04.若行列式的某行（列）元素均可以为两个数之和，则可以分为两个行列式之和。注：常犯的错误1.将行列式的某行(列)的K倍加到另一行（列）上，其值不变。利用上述性质可以将一个一般行列式转化为上或下三角行列式：例题：注：从最后一列起，整列除以x加到前一列上消去-1，再将前一列除以x加到它的前一列上消去-1，如此下去，消去所有-1，得到对角线型行列式。例题：行和相等加列，列和相等加行。行和相等，将其他所有列加到第一列上，得到第一列每个元素相等，提出公因子。接着划为下三角行列式。行列式按行（列）展开，代数

3、余子式行列式按行（列）展开定理注：等于0，证明是利用代数余子式的值与该元素所在的行与列元素无关，而将该行元素换成与其他某行相同的元素，使得原行列式有两行元素相同，结果为0第三节：范德蒙行列式：数学归纳法推导。利用递推法计算行列式计算方法：克莱姆法则：齐次线性方程组，非齐次线性方程组的解。与ax=b，ax=0有相似的结论形式。第四节：矩阵重点：矩阵的乘法运算；伴随矩阵，逆矩阵；初等变换与初等矩阵；矩阵的概念：行列式与矩阵区别:矩阵的行，列不一定相等，矩阵是一个数表，行列式是n*n数表对应的数值同型矩阵与矩阵相等几个特殊类型的矩阵

4、：1.零矩阵，同型的零矩阵才相等，不同型的零矩阵不等。2.行矩阵，列矩阵3.方阵，n行n列的矩阵○单位阵=E○数量阵○对角阵○上或下三角阵（形式与上下三角行列式类似）○对称阵○正交阵矩阵的运算1.线性运算（与数的加减乘运算律一致）○加减运算（要求是同型矩阵）○数乘运算（矩阵中每个元素都乘上K）2.矩阵相乘矩阵相乘前提条件：A的列数等于B的行数矩阵相乘的规则：A的每一行元素与B的每一列元素相乘，A的第i行乘上B的第j列的结果做为新的矩阵的第i行j列的元素，新的矩阵是m行s列的矩阵。矩阵的运算律：○不满足交换律AB不等于BA，○矩

5、阵相乘满足结合律A(BC)=(AB)C○矩阵乘法不满足消去律AB=0不能推出A=0或B=0；AB=AC不能推出B=C○矩阵与单位阵相乘（满足相乘条件时）还是矩阵本身。例题：矩阵不满足交换律注：矩阵相乘可以得到一个数例题：线性方程组的矩阵表示第五节1.方阵的乘幂与多项式：○乘幂运算○方阵多项式注：方阵的形式i）只有方阵才有幂（若不是方阵，则不满足矩阵相乘的规则）“=”成立条件时AB=BA,即相乘可以交换数量矩阵与方阵相乘满足交换律：注：若不是数量矩阵而是另一个方阵B与方阵A的多项式，如下：只有当二者相乘可交换才相等.例题：注：A

6、B=常数，矩阵和常数相乘满足交换律矩阵乘幂计算方法：此法来源于上例的启发1.对角化法2.归纳法3.拆和法例如：注B的三次幂一直到N次幂都是零方阵矩阵的转置方阵的行列式（只有方阵才有行列式）注：若A,B不为方阵，则AB，BA可能是方阵，但取行列式就不等。如下例：如上例伴随矩阵：N阶行列式各元素的代数余子式（不是余子式）Aij构成的以下n阶方阵：注：伴随阵个元素是一个代数余子式的值，且不是按照矩阵中元素顺序排列的。伴随阵等式：证明：利用行列式按行按列展开定理，行列式值=行列式任一行或列的元素乘上各自代数余子式的值，再相加。而任一行

7、或列元素乘上另一行或列元素对应的代数余子式之和为零（代数余子式与该行或列元素无关，可将该行或列换成与另一行或列相同的元素。）结果就得到矩阵A取行列式之值乘上n阶单位阵。注：伴随阵是由代数余子式构成，而N阶行列式的代数余子式是一个N-1阶行列式，所以矩阵数乘K后取伴随阵中的元素（代数余子式）都含有K的n-1次方，可以提到矩阵之外。例题：注：用到矩阵的等式，等号两边取行列式任然相等。第六节逆矩阵：若AB=BA=E,A,B为同阶方阵，则A与B互逆。可逆条件与求逆公式与数的倒数类比注：提供了证明抽象矩阵可逆的方法。例题：将A的多项式划

8、为（A-E）*（）=E或kE的形式.利用公式:第七节分块矩阵：元素为小矩阵1.分块矩阵的运算：○加法：A＋B,分法要求A,B分法相同。○数乘KA，无分法要求。○矩阵相乘：AB注：只要保证分块得到的两新矩阵满足矩阵相乘规则既可，前一个矩阵的列数=后一个矩阵的行数，而前者行数与后