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1、第26卷第12期商丘师范学院学报Vo.l26No.122010年12月JOURNALOFSHANGQIUTEACHERSCOLLEGEDec.2010论实数系完备性定理的和谐美梁俊奇(商丘师范学院数学系河南商丘476000)摘要:论述闭区间套定理和有限覆盖定理的应用技巧,彰显数学理论的内在和谐美.关键词:完备性;基本定理;证明技巧;和谐美中图分类号:O171文献标识码:A文章编号:1672-3600(2010)12-0121-02ThecompletetheoremofrealnumbersLIANG
2、Junqi(Dept.ofMath.,ShangqiuTeachersCollege,Shangqiu476000,China)Abstract:Itisdiscussedthatthetheoremofsequenceofclosedintervalandfinitecoveringtheoreminthepaper,andtheskidofitsappliedvalue.Keywords:sysemofrealnumbers;complete;theorem;appliedvalue0引言众所周知,在整个数学分析的内容中,实
3、数系完备性基本定理(通常称为6大定理)是理论性最强的一部分,是数学分析理论的基础理论,其中不乏精彩、美妙之处.限于篇幅,本文仅就比较重要的闭区间套定理和有限覆盖定理,论述它们的一些应用技巧,从而彰显数学理论的内在和谐美.1闭区间套定理的应用技巧11闭区间套定理若闭区间序列{[an,bn]}满足条件:(1)[an,bn][an+1,bn+1],n=1,2,3,;(2)lim(bn-an)=0,则在实数系中存在n唯一的一点,使得[an,bn],n=1,2,3,,即anbn,n=1,2,3,1.2闭区间套
4、定理的应用技巧闭区间套定理的证明很简单,其主要理论依据就是单调有界数列收敛原理.该定理不像确界定理、单调有界数列收敛原理那样,受到一维空间中序概念的影响,不易推广到n维空间.与此相反的是闭区间套定理可以毫无困难地推广到n维空间上去,成为在那里的多元函数极限理论的基础.不但如此,由于它所依赖的只不过是距离和邻域概念,和空间的维数及其中的线性结构并无关系,所以还可以推广到一般的度量空间和只有邻域的拓扑空间上去.除此以外,在什么情况下应用闭区间套定理?如何应用闭区间套定理?更是这一部分内容的精彩、美妙所在.一般来说,由整体问题的性态推
5、导局部问题的性态的命题,适宜用闭区间套定理.运用闭区间套定理的关键是如何构造一个能够达到目的的区间套.具体而言,就是要确定该区间套应该具有什么样的性态,其性态应该由局部性态来确定.构造闭区间套的过程,应该使这种性态从第一个闭区间开始传递给第二个闭区间,再从第二个闭区间传递给第三个闭区间,依次类推,直到将这种性态凝聚到闭区间套套出的点的任意邻域,即从整体性态推出局部性态.这就是运用闭区间套定理证明问题的基本思路.下面运用闭区间套定理证明聚点定理:实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点.分析:这是一个由整
6、体问题的性态推导局部问题的性态的命题,自然想到用区间套定理来证明.证明:因为S为有界点集,故存在M>0,使得S[-M,M],记[a1,b1]=[-M,M].现将[a1,b1]等分为两个子区间.因为S为无限点集,故两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点,记此区间为[a,b].再把[a,b]等分为两个子区间,则2222其中至少有一个子区间含有S中无穷多个点,记此区间为[a3,b3].将此等分子区间的手续无限地进行下去,就得到一个闭区收稿日期:2009-10-26基金项目:商丘师范学院重点教学研究项目:关于数学文化透视选修课程的
7、思考与建设作者简介:梁俊奇(1958-),男,河南宁陵人,商丘师范学院教授,硕士生导师,主要从事函数论与数学美学的教学与研究工作.122商丘师范学院学报2010年间序列{[an,bn]},它满足:M[an,bn][an+1,bn+1],n=1,2,,bn-an=n-20(n),即{[an,bn]}是一个区间套,且其中每一个闭区间都含有2S中无穷多个点.由闭区间套定理知,存在唯一的一点[an,bn],n=1,2,3,,于是由闭区间套定理的推论,>0,N>0,n>N,有
8、[an,bn]U(,).从而U(,)内含有S中无穷多个点,故为点集S的一个聚点.2有限覆盖定理的应用技巧2.1有限覆盖定理设H为闭区间[a,b]的一个无限开覆盖,则从H中可选出有限个开区间来
