数学基础班讲义.pdf

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1、09年高等数学基础班讲义2009年考研数学基础班讲义（高等数学部分）第一章函数、极限、连续一、函数1．函数的概念：2．函数的性态：单调性奇偶性周期性有界性有界性：定义：$M>,0"xÎI,f(x)£M;3．反函数与复合函数(函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合)4．基本的初等函数与初等函数1）基本初等函数:常数，幂函数,指数,对数,三角,反三角．了解它们定义域,性质,图形.2）初等函数：由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数.常考题型：1．函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定；2．复合函数；cosx

2、例1．f(x)=

3、xsinxe

4、(-¥,0-x,x³022+x,x<,0解：g[f(x)]=2+x,x³.0二、极限1．极限概念1）数列极限:lima=A："e>,0$N(e)>0,当n>N时

5、a-A

6、

7、函数极限:limf(x)=A："e>,0$X(e)>0,当

8、x

9、>X时

10、f(x)-A

11、,0$d(e)>0,当0<

12、x-x

13、

14、f(x)-A

15、

16、00几个值得注意的极限：12x1x1+xlime,limarctan，lime,limarctanx,lim.x®0x®0xx®¥x®¥x®¥x2．极限性质1）有界性收敛数列必有界；2）有理运算性质若limf(x)=A,limg(x)=B.那么:lim(f(x)±g(x))=limf(x)±limg(x)=A±Blim(f(x)×g(x))=limf(x)×limg(x)=A×Bf(x)limf(x)Alim==(B¹)0g(x)limg(x)Bf(x)两个常用的结论：1）lim存在，limg(x)=0⇒limf(x)=;0g(x

17、)f(x)2)lim=A¹,0limf(x)=0⇒limg(x)=;0g(x)3）保号性设limf(x)=Ax®x0o（1）如果A>0,则存在d,当xÎu(x,d)时，f(x)>0.0o（2）如果当xÎu(x,d)时,f(x)³0,那么A³0.04）函数值与极限值之间的关系;limf(x)=AÛf(x)=A+a(x).其中lima(x)=.03．极限存在准则1）夹逼准则：若存在N，当n>N时，y£x£z，且limy=limz=a,则limx=a.nnnnnnn®¥n®¥n®¥2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。4．基本极限sinx11lim=

18、1,lim1(+x)x=e,lim1(+)x=ex®0xx®0x®¥xxxln(1+x)e-1a-1lim=1,lim=1,lim=lnax®0xx®0xx®0xa1(+x)-1nlim=a,limn=.1x®0xn®¥5．无穷小量与无穷大量第2页共35页209年高等数学基础班讲义1）无穷小量的概念:以零为极限的变量称为无穷小量。2)无穷小的比较:设a(x)®,0b(x)®0.a(x)（1）高阶：若lim=0；记为a(x)=o(b(x));b(x)a(x)（2）同阶：若lim=C¹0；b(x)a(x)（3）等价：若lim=1；记为a(x)~b(x

19、);b(x)a(x)（4）无穷小的阶:若lim=C¹0，称a(x)是b(x)的k阶无穷小。k[b(x)]3）常用等价无穷小：当x®0时,xx~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)~e-;1xa12a-1~xlna,，1(+x)-1~ax,1-cosx~x；24)无穷小的性质:（1）有限个无穷小的和仍是无穷小.（2）有限个无穷小的积仍是无穷小.（3）无穷小量与有界量的积仍是无穷小.5)无穷大量的概念:若limf(x)=¥，称f(x)为无穷大量(x®x或x®¥)；06）无穷大量与无界变量的关系：无穷大量⇒无界变量7）无穷

20、大量与无穷小量的关系：无穷大量的倒数是无穷小量；非零无穷小量的倒数是无穷大量；常考题型：1）求极限；2）无穷小量阶的比较；1．求极限：方