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1、09年高等数学基础班讲义2009年考研数学基础班讲义(高等数学部分)第一章函数、极限、连续一、函数1.函数的概念:2.函数的性态:单调性奇偶性周期性有界性有界性:定义:$M>,0"xÎI,f(x)£M;3.反函数与复合函数(函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合)4.基本的初等函数与初等函数1)基本初等函数:常数,幂函数,指数,对数,三角,反三角.了解它们定义域,性质,图形.2)初等函数:由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数.常考题型:1.函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定;2.复合函数;cosx
2、例1.f(x)=
3、xsinxe
4、(-¥,0-x,x³022+x,x<,0解:g[f(x)]=2+x,x³.0二、极限1.极限概念1)数列极限:lima=A:"e>,0$N(e)>0,当n>N时
5、a-A
6、7、函数极限:limf(x)=A:"e>,0$X(e)>0,当
8、x
9、>X时
10、f(x)-A
11、,0$d(e)>0,当0<
12、x-x
13、14、f(x)-A
15、16、00几个值得注意的极限:12x1x1+xlime,limarctan,lime,limarctanx,lim.x®0x®0xx®¥x®¥x®¥x2.极限性质1)有界性收敛数列必有界;2)有理运算性质若limf(x)=A,limg(x)=B.那么:lim(f(x)±g(x))=limf(x)±limg(x)=A±Blim(f(x)×g(x))=limf(x)×limg(x)=A×Bf(x)limf(x)Alim==(B¹)0g(x)limg(x)Bf(x)两个常用的结论:1)lim存在,limg(x)=0⇒limf(x)=;0g(x
17、)f(x)2)lim=A¹,0limf(x)=0⇒limg(x)=;0g(x)3)保号性设limf(x)=Ax®x0o(1)如果A>0,则存在d,当xÎu(x,d)时,f(x)>0.0o(2)如果当xÎu(x,d)时,f(x)³0,那么A³0.04)函数值与极限值之间的关系;limf(x)=AÛf(x)=A+a(x).其中lima(x)=.03.极限存在准则1)夹逼准则:若存在N,当n>N时,y£x£z,且limy=limz=a,则limx=a.nnnnnnn®¥n®¥n®¥2)单调有界准则:单调有界数列必有极限。4.基本极限sinx11lim=
18、1,lim1(+x)x=e,lim1(+)x=ex®0xx®0x®¥xxxln(1+x)e-1a-1lim=1,lim=1,lim=lnax®0xx®0xx®0xa1(+x)-1nlim=a,limn=.1x®0xn®¥5.无穷小量与无穷大量第2页共35页209年高等数学基础班讲义1)无穷小量的概念:以零为极限的变量称为无穷小量。2)无穷小的比较:设a(x)®,0b(x)®0.a(x)(1)高阶:若lim=0;记为a(x)=o(b(x));b(x)a(x)(2)同阶:若lim=C¹0;b(x)a(x)(3)等价:若lim=1;记为a(x)~b(x
19、);b(x)a(x)(4)无穷小的阶:若lim=C¹0,称a(x)是b(x)的k阶无穷小。k[b(x)]3)常用等价无穷小:当x®0时,xx~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)~e-;1xa12a-1~xlna,,1(+x)-1~ax,1-cosx~x;24)无穷小的性质:(1)有限个无穷小的和仍是无穷小.(2)有限个无穷小的积仍是无穷小.(3)无穷小量与有界量的积仍是无穷小.5)无穷大量的概念:若limf(x)=¥,称f(x)为无穷大量(x®x或x®¥);06)无穷大量与无界变量的关系:无穷大量⇒无界变量7)无穷
20、大量与无穷小量的关系:无穷大量的倒数是无穷小量;非零无穷小量的倒数是无穷大量;常考题型:1)求极限;2)无穷小量阶的比较;1.求极限:方