《全等三角形》考点重点专题讲解.pdf

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1、《全等三角形》考点重点专题讲解专题一全等三角形判别方法的应用　　专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种：　　1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成"SSS"）　　2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成"SAS"）　　3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成"ASA"）　　4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成"AAS"）　　而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用"斜边、直角边"，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成"HL"）．也就是说"斜边、直角边"是判别两

2、个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．　　三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？例1已知：如图1，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC．那么图中全等的三角形有___对．　　分析：由CE⊥AB，BD⊥AC，得∠AEO=∠ADO=90o．由AO平分∠BAC，得∠EAO=∠DAO．又AO为公共边，所以△AEO≌△ADO．所以EO=DO

3、，AE=AD．又∠BEO=∠CDO=90o，∠BOE=∠COD，所以△BOE≌△COD．由AE=AD，∠AEO=∠ADO=90o，∠BAC为公共角，所以△EAC≌DAO．所以AB=AC．又∠EAO=∠DAO，AO为公共边，所以△ABO≌△ACO．图1所以图中全等的三角形一共有4对．（2）条件不足，会增加条件用判别方法例2如图2，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个）_____．　　分析：要使△ABC≌△ADE，注意到∠1=∠2，所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠EAC．要使△ABC≌△ADE，根据SAS可知只

4、需AC=AE图2即可；根据ASA可知只需∠B=∠D；根据AAS可知只需∠C=∠E．故可添加的条件是AC=AE或∠B=∠D或∠C=∠E．　　（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法例3已知：如图3，AB=AC，∠1=∠2．　　求证：AO平分∠BAC．　　分析：要证AO平分∠BAC，即证∠BAO=∠BCO，要证∠BAO=∠BCO，只需证∠BAO和∠BCO所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO即可．　　证明：连结BC．　　因为AB=AC，所以∠ABC＝∠ACB．　　因为∠1=∠2，所以∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2．图3　　即∠3=∠4，所以BO

5、=CO．　　因为AB=AC，BO=CO，AO=AO，　　所以△ABO≌△ACO．　　所以∠BAO=∠CAO，即AO平分∠BAC．（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法．例4已知：如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF．　　求证：∠ADC=∠BDF．　　证明：过B作BG⊥BC交CF延长线于G，所以BG∥AC．所以∠G=∠ACE．因为AC⊥BC，CE⊥AD，所以∠ACE=∠ADC．所以∠G=∠ADC．因为AC=BC，∠ACD＝∠CBG=90o，所以图4△ACD≌△CBG．所以

6、BG=CD=BD．因为∠CBF=∠GBF=45o，BF=BF，所以△GBF≌△DBF．所以∠G=∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法例5要在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A，B两点间的距离﹒请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案﹒　　(1)画出测量图案﹒　　(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒图5　　(3)计算A、B的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒　　分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1)题，测量图案如图5所示．第(2)题，测量步骤：先在陆地上找

7、到一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OC=OA，在BO的延长线上取一点D，并测得OD=OB，这时测得CD的长为，则AB的长就是．第(3)题易证△AOB≌△COD，所以AB=CD，测得CD的长即可得AB的长．　　解：(1)如图6示．　　(2)在陆地上找到可以直接到达A、B的一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OC＝OA，在BO的延长线上取一点D，并测图6得OD＝OB，这时测出CD的长为，则AB的长就是．　　(3)理由：由测法可得OC=OA，OD=OB．　　又∠COD=∠AOB，∴△COD≌△AOB．　　∴CD=AB=．专题二角的平分线　　从一