数分考研总复习讲义级数理论---数项级数.pdf

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1、第六章级数理论§1数项级数I基本概念一数项级数及其敛散性定义1给定一个数列{u}，对它的各项依次用“+”号连结起来的表达式nu+u+?+u+?（1）12n∞称为数项级数或无穷级数，简称级数，记为∑un，其中un称为数项（1）的通项．n=1n数项级数（1）的前n项之和，记为Sn=∑uk，称之为（1）的前n项部分和，简称为k=1部分和．定义2若级数（1）的部分和数列{S}收敛于S（即limS=S），则称级数（1）收nnn→∞∞敛，并称S为（1）的和，记为S=∑un．若{Sn}是发散数列，则称级数（1）发散．n=1二收敛级数的基本性质1收敛级数的柯西收敛准则+级数（1）收敛的充要条件是：∀ε>

2、0，∃N>0，∀n>N，∀p∈Z，有u+u+?+u<ε．n+1n+2n+p∞2级数收敛的必要条件：若级数∑an收敛，则liman=0．n→∞n=13去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性．4在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数亦如此），即收敛级数满足结合律．5若级数适当加括号后发散，则原级数发散．6在级数中，若不改变级数中各项的位置，只把符号相同的项加括号组成一新级数，则两级数具有相同的敛散性．7线性运算性质∞∞∞若级数∑un与∑vn都收敛，c,d是常数，则∑(cun+dvn)收敛，且n=1n=1n=1∞∞∞∑()cu±dv=c∑u±d∑v

3、．nnnnn=1n=1n=1三正项级数收敛性判别法∞1正项级数∑un收敛的充要条件是部分和数列{Sn}有界．n=12比较判别法∞∞设∑un与∑vn是两个正项级数，若存在正整数N，当n>N时，都有un≤vn，则n=1n=1∞∞（1）若∑vn收敛，则∑un收敛；n=1n=1∞∞（2）若∑un发散，则∑vn发散．n=1n=13比较原则的极限形式∞∞un设∑un和∑vn是两个正项级数，且lim=l，则n→∞vn=1n=1n∞∞（1）当0

4、un发散．n=1n=1∞∞abn+1n+14设∑an和∑bn是两个正项级数，且∃N>0，∀n>N，有≤，则n=1n=1anbn∞∞（1）若∑bn收敛，则∑an收敛；n=1n=1∞∞（2）若∑an发散，则∑bn发散．n=1n=15比式判别法（达朗贝尔判别法）∞设∑un是正项级数，若∃N0>0及常数q>0，有n=1∞an+1（1）当n>N0时，≤q<1，则级数∑un收敛；ann=1∞an+1（2）当n>N0时，≥1，则∑un发散．ann=16比式判别法极限形式∞un+1设∑un为正项级数，且lim=q，则n→∞un=1n∞（1）当q<1时，∑un收敛；n=1∞（2）当q>1若q=+∞时，∑u

5、n发散；n=1（3）当q=1时失效．当比式极限不存在时，我们有∞设∑un为正项级数．n=1un+1（1）若lim=q<1，则级数收敛；n→∞unun+1（2）若lim=q>1，则级数发散．n→∞un7根式判别法（柯西判别法）∞设∑un为正项级数，且存在某正整数N0及正常数l，n=1∞（1）若对一切n>N，成立不等式nu≤l<1，则级数∑u收敛；0nnn=1∞（2）若对一切n>N，成立不等式nu≥1，则级数∑u发散．0nnn=18根式判别法极限形式∞设∑u为正项级数，且limnu=l，则nnn→∞n=1（1）当l<1时级数收敛；（2）当l>1时级数发散．9柯西积分判别法∞+∞设f为[,1+

6、∞)上非负递减函数，那么正项级数∑f()n与反常积分∫f()xdx同时收1n=1敛或同时发散．10拉贝判别法∞设∑un为正项级数，且存在某正整数N0及常数r，n=1⎛u⎞∞⎜n+1⎟（1）若对一切n>N0，成立不等式n⎜1−⎟≥r>1，则级数∑un收敛；⎝un⎠n=1⎛u⎞∞n+1（2）若对一切n>N0，成立不等式n⎜⎜1−⎟⎟≤1，则级数∑un发散．⎝un⎠n=1⎛⎜un+1⎞⎟un+1r注拉贝判别法中（1）n1−≥r>1可转化为≤1−，r>1收敛；⎜⎟uun⎝n⎠n⎛⎜un+1⎞⎟un+1r（2）n1−≤r可转化为≥1−，r≤1发散．⎜⎟uun⎝n⎠n11拉贝判别法极限形式⎛u⎞⎜n

7、+1⎟若limn1−=r，则有n→∞⎜u⎟⎝n⎠∞（1）当r>1时，∑un收敛；n=1∞（2）当r<1时，∑un发散．n=1四一般项级数1莱布尼兹判别法∞n−1若交错级数∑()−1un，un>0，满足下列两个条件：n=1（1）数列{u}单减；n（2）limu=0，nn→∞∞则∑un收敛．n=1∞n−1注若交错级数∑()−1un满足莱布尼兹判别法，则其余项Rn()x满足n=1R()x≤u．nn+12绝对收敛级数及其性质∞∞∞∞∞定义对