二元函数地泰勒公式.pdf

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1、二元函数的泰勒公式1、一元函数泰勒公式：对于较复杂的函数来说，为了简便研究，往往用一些简单的函数来近似表达（多项式近似表达函数）例如：xe~x1ln(1x~)x上式只有当x0，误差才是比x的高阶无穷小。但是：不能具体估计出误差的大小。泰勒定理（Taylor）:函数yf(x)在含有x0的开区间(a,b)内具有直到n+1阶导数,当x在(a,b)内时，yf(x)可以表示为x-x0的一个n次多项式，与一个余项Rn(x)之和：（1）n阶泰勒公式：f(x0)f(x0)2f(x)f(x0)(xx0)+(xx0)+!1!2)4(f(x0)3f(x0)4(xx0)+(

2、xx0)+……!3!4(n)f(x0)n+(xx0)+Rn(x)n!（2）拉格朗日型余项：(n)1f()n1Rn(x)=(xx0)(n1)!（3）函数按x-x0的幂展开的n次近似多项式：f(x0)f(x0)2f(x)f(x0)(xx0)+(xx0)+!1!2)4(f(x0)3f(x0)4(xx0)+(xx0)+……!3!4(n)f(x0)n+(xx0)n!(n)1f()n1其中：Rn(x)=(xx0)(n1)!为x0与x之间的某个值nRn(x)=o[(xx0)]（4）迈克劳林公式当取x0=0，则为0与x之间，因此可以令x

3、0()1从而使泰勒公式变成较简单的形式：f)0(f)0(2f)0(3f(x)f)0((x)+(x)+(x)+!1!2!3)4((n)(n)1f)0(4f)0(nf(x)n1(x)+……+(x)+(x)!4n!(n1)!0()1由此可以得到近似公式：f)0(f)0(2f)0(3f(x)f)0((x)+(x)+(x)+!1!2!3)4((n)f)0(4f)0(n(x)+……+(x)!4n!2、二元函数泰勒公式：对于多元函数来说，也必须考虑用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数，并具体估算其误差的大小。定理：设二元函数zfx,

4、(y)在点(x0,y0)的某一邻域内连续且具有直到n+1阶连续偏导数，(x0h,y0k)是此区域内任一点，则有：f(x0h,y0k)=f(x0,y0)(hk)f(x0,y0)+xy1213(hk)f(x,y)(hk)f(x,y)00+00+……!2xy!3xy1n1n1+(hk)f(x0,y0)+(hk)f(x0h,y0k)n!xy(n1)!xy(0)1其中：（1）(hk)f(x,y)00=hfx(x0,y0)kfy(x0,y0)xy2(hk)f(x,y)00=xy22hf(x,y)

5、kf(x,y)2hkf(x,y)xx00yy00xy00（2）m(hk)f(x,y)00=xymmppmpfCmhkpmp(x0,y0)p0xy（3）拉格朗日型余项：1n1Rn(x)=(hk)f(x0h,y0k)(n1)!xy（4）n阶迈克劳林公式：12f(x,y)=f0,0(0)(hk)f)0,0(+(hk)f)0,0(+xy!2xy13(hk)f)0,0(+……!3xy1n1n1+(hk)f)0,0(+(hk)f(x,y)n!xy(n1)!xy