二元函数泰勒公式

《二元函数泰勒公式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、§9.9二元函数泰勒公式一、问题的提出一元函数的泰勒公式：f(x)=f(x)+f¢(x)(x-x)000¢¢(n)f(x0)2f(x0)n+(x-x)+L+(x-x)002n!(n+1)()fx0+q(x-x0)n+1+(x-x)(0

2、0为此邻域内任一点,能否把函数f(x+h,y+k)00近似地表达为h=x-x,k=y-y的n次多项0022n式，且误差是当r=h+k®0时比r高阶的无穷小．引入函数F(t)=f(x+ht,y+kt),(0£t£1).00显然F(0)=f(x,y),F(1)=f(x+h,y+k).0000利用一元函数的麦克劳林公式，得1F(1)=F(0)+F¢(0)+F¢¢(0)+L2!1(n)1(n+1)(*)+F(0)+F(q),(0

3、x+ht,y+kt)x00y00涶ö=çh+k÷f(x+ht,y+kt),00è¶x¶yø2F¢¢(t)=hf(x+ht,y+kt)xx002+2hkf(x+ht,y+kt)+kf(x+ht,y+kt)xy00yy00LLLLn+1n+1(n+1)ppn+1-p¶pF(t)=åCn+1hkpn+1-p(x0+ht,y0+kt)p=0¶x¶yn+1涶ö=ççh+k÷÷f(x0+ht,y0+kt).è¶x¶yø将F(0)=f(x,y),F(1)=f(x+h,y+k)及上0000面求得的F(t)直到n阶导数在t=0的值,以及(n+1)F

4、(t)在t=q的值代入(*)式.即得涶öf(x+h,y+k)=f(x,y)+çh+k÷f(x,y)000000è¶x¶yø21涶ö+çh+k÷f(x,y)+L002!è¶x¶yøn1涶ö+çh+k÷f(x,y)+R,(1)00nn!è¶x¶yø其中n+11涶öR=çh+k÷f(x+qh,y+qk),n00(n+1)!è¶x¶yø(0

5、内连续且00有直到n+1阶的连续偏导数,(x0+h,y0+k)为此邻域内任一点,则有涶öf(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+ççh+k÷÷f(x0,y0)è¶x¶yø2n1涶ö1涶ö+ççh+k÷÷f(x0,y0)+L+ççh+k÷÷f(x0,y0)2!è¶x¶yøn!è¶x¶yøn+11涶ö+ççh+k÷÷f(x0+qh,y0+qk),(0

6、¶öçh+k÷f(x,y)00è¶x¶yø表示2(,)2(,)2(,),hfxy+hkfxy+kfxyxx00xy00yy00m涶ö一般地,记号çh+k÷f(x,y)表示00è¶x¶yømmppm-p¶påCmhkpm-p(x0,y0).p=0¶x¶y由二元函数的泰勒公式知,R的绝对值在n点(x,y)的某一邻域内都不超过某一正常数M.00于是,有下面的误差估计式:M()n+1Mn+1()n+1R£h+k=rcosa+sinan()()n+1!n+1!()n+12n+122=Mr,其中r=h+k.(3)(n+1)!n由(3)式可知,误差

7、R是当r®0时比r高阶n的无穷小.当n=0时,公式(1)成为f(x+h,y+k)00=f(x,y)+hf(x+qh,y+qk)00x00+kf(x+qh,y+qk)y00上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.推论如果函数f(x,y)的偏导数f(x,y),f(x,y)xy在某一邻域内都恒等于零,则函数f(x,y)在该区域内为一常数.在泰勒公式(1)中,如果取x=0,y=0,00则(1)式成为n阶麦克劳林公式.涶öf(x,y)=f(0,0)+ççx+y÷÷f(0,0)è¶x¶yø2n1涶ö1涶ö+ççx+y÷÷f(0,0)+L+çç

8、x+y÷÷f(0,0)2!è¶x¶yøn!è¶x¶yøn+11涶ö+ççx+y÷÷f(qx,qy),(n+1)!è¶x¶yø(0