二元函数的泰勒公式

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1、§10.4二元函数的泰勒公式就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似计算外,又为建立极值判别准则作好了准备.三、极值问题一、高阶偏导数二、中值定理和泰勒公式一、高阶偏导数如果它们关于x与y的偏导数也导数有如下四种形式:存在,说明具有二阶偏导数．二元函数的二阶偏类似地可以定义更高阶的偏导数,例如的三阶偏导数共有八种情形:解由于例1因此有数为例2注意在上面两个例子中都有数为混合偏导数).但是这个结论并不对任何函数都成立，例如函数它的一阶偏导数为数相等(称这种既有关于

2、x,又有关于y的高阶偏导的混合偏导数:由此看到,这两个混合偏导数与求导顺序有关.那么在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢?为此式.由于因此有类似地有这两个累次极限相等.下述定理给出了使(1)与(2)相等的一个充分条件．连续，则证令于是有(4)(3)由(4)则有(5)如果令则有用前面相同的方法,又可得到(6)在且相等，这就得到所要证明的(3)式．合偏导数都与求导顺序无关．注2这个定理对n元函数的混合偏导数也成立.例由定理假设都在点连续,故当时,(7)式两边极限都存如三元函数的如下六个三阶混合偏导

3、数若在某一点都连续，则它们在这一点都相等．今后在牵涉求导顺序问题时,除特别指出外,一般都假设相应阶数的混合偏导数连续．复合函数的高阶偏导数设数同样存在二阶连续偏导数.具体计算如下:同理可得例3改写成如下形式:由复合函数求导公式，有自变量的复合函数．所以二、中值定理和泰勒公式二元函数的中值公式和泰勒公式,与一元函数的拉也有相同的公式，只是形式上更复杂一些．先介绍凸区域若区域D上任意两点的连线都含于D,则称D为凸区域(图10.3-6).这就是说,若D为一切恒有上连续,在D的所有内点都可微,则对D内任

4、意两定理8(中值定理)设在凸区域图10.3-6凸非凸的一元连续函数,且在(0,1)内可微.根据一元函数其中中值定理，，使得(10)(9),(10)两式即得所要证明的(8)式．注若D为严格凸区域，即，都有式成立(为什么?)．公式(8)也称为二元函数(在凸域上)的中值公式.它与定理17.3的中值公式(12)相比较,差别在于这请读者作为练习自行证明此推论．分析将上式改写成例4对应用微分中值定理，证明存在某个之间应用微分中值定理．计算偏导数:证首先,当,有再定理9(泰勒定理)若在点内任一点内有直到阶的连

5、续偏导数,则对其中证类似于定理8的证明，先引入辅助函数(11)式称为的n阶泰勒公式,并称其中而首项也可看作的情形.件，于是有由假设，上满足一元函数泰勒公式的条应用复合求导法则,可求得的各阶导数如下:(12)公式(11)．将(13),(14)两式代入(12)式,就得到所求之泰勒时的特殊情形.此时的n阶泰勒公式可写作则仅需内存在n阶的连续偏导数即可,将它们代入泰勒公式(15)，即有与1、例7的结果(1.32)相比较，这是更接近于真微分近似相当于现在的一阶泰勒公式．三、极值问题多元函数的极值问题是多元

6、函数微分学的重要应用,这里仍以二元函数为例进行讨论.有定义.若极大值点、极小值点统称极值点．的极大(或极小)值点.极大值、极小值统称极值;极注意这里讨论的极值点只限于定义域的内点．点,是g的极大值点,但不是h的极值点．这是因同极值;也取相同极值.于是得到二元函数取极值的必要条件如下:定理10(极值的必要条件)若函数在点值(注由定义可见,若在点取极值,则当固存在偏导数,且在取得极值,则必有的稳定点.上述定理指出:偏导数存在时,极值点必是稳定点.但要注意:稳定点并不都是极值点．在例6中之所以只讨论原

7、点,就是因为原点是那三个函数的惟一稳定点；而对于函数h,原点虽为其稳定点,但却不是它的极值点.与一元函数的情形相同,多元函数在偏导数不存在原点没有偏导数,但(17)定点,则有如下结论:于是有证由在的二阶泰勒公式，并注意到条件二次型连续函数(仍为一正定二次型)首先证明:当正定时，在点取得极小值．这是因为，此时对任何恒使极大值．由于因此在此有界闭域上存在最小值，于是有即在点取得极小值．亦取则沿着过的任何直线最后证明:当为不定矩阵时,在点不极小值,则将导致必须是正半定的.也就是的或负半定的，这与假设相

8、矛盾．这表明必须是负半定的.同理,倘若取系，定理11又可写成如下比较实用的形式——根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关若如定理11所设，则有如下结论:是否取得极值．解由方程组例7取得极小值;取得极大值;例8讨论是否存在极值．得极值?因，故原点不是的极值点.又因处处可微，所以没有极值点.解容易验证原点是的稳定点,且故由定理11无法判断在原点是否取得极值．但因为在原点的任意小邻域内,当时由极值定义知道,极值只是函数的一个局部性概念.想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值,方法与一元函数问题一样