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《数学分析报告10.4--二元函数地泰勒公式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、§10.4二元函数的泰勒公式一.高阶偏导数二元函数的两个（一阶）偏导函数，仍是与的二元函数。若他们存在关于和的偏导数，即（），（），（），（）.称它们是二元函数的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有2个。通常将（）记为或.（）记为或.(混合偏导数)（）记为或.(混合偏导数)（）记为或.一般地，二元函数的阶偏导数的偏导数称为二元函数的阶偏导数.二元函数的阶偏导数至多有2个.二元函数z=(x,y)的阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如,符号或表示二元函数的阶偏导数，首先对求阶偏导数,其次对求阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、
2、一般元函数的高阶偏导数.例1求函数的二阶偏导数.解=，=.=.=.=.(=)=.例2证明：若u=,r=,则++=0.证明由§10.3例2，有=，=，=.=(=)==+.同样，可得=+,=+于是，++==+=.由例1看到，=，即二阶混合偏导数（先对后对和先对后对）与求导的顺序无关。那么是否函数的高阶混合偏导数都与求导顺序无关呢？否！例如，函数f(x,y)=在原点（0,0）的两个偏导数(0,0)于(0,0)都存在，且事实上，由偏导数定义，有(0,0)==0(0,0)==0===.(,0)===.(0,0)===(0,0)===于是，那么，多元函数具有什么条件
3、，它的混合高阶偏导数与求导的顺序无关呢？有下面的定理：定理1若二元函数在点P(x,y)的邻域G存在二阶混合偏导数与，并且它们在点P(x,y)连续，则=证法根据一阶、二阶偏导数的定义，有===设=从而,=.同样方法，有=.定理1的实质是上述两个累次极限相等，即两个累次极限可以交换次序.由此可见，证明定理1要构造函数.证明当与充分小时，使，从而，与,设.（1）令,(1)式可改写为.函数在以和为端点的区间可导，根据微分中值定理，有=，.已知在存在，将看作常数，再根据微分中值定理，有，，.(2)再令，同样方法，有，，.(3)于是，由（2）式和（3）式，有=.已知
4、与在点连续，当时，有=.例3证明：若则+=++.证明于是，即定理1的结果可推广到元函数的高价混合偏导数上去.例如，三元函数关于的三阶混合偏导数共有六个：若它们在点都连续，则它们相等.若二元函数所有的高阶混合偏导数都连续，则偏导数（亦称一阶偏导数）有两个，二阶偏导数只有三个，三阶偏导数只有四个.一般情况，阶偏导数只有个.二.二元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式能够推广到多元函数上来.关于多元函数泰勒公式的作用和意义与一元函数泰勒公式相同，不再重述.为书写简便，只讨论二元函数的泰勒公式.讨论二元函数泰勒公式的方法是作一个辅助函数，将二元函数化为一元函数.应用
5、已知的一元函数的泰勒公式和复合函数的微分法得到二元函数的泰勒公式.为了将二元函数在点的函数值在点展成泰勒公式，作辅助函数即显然，于是，函数在点展成的泰勒公式就是一元函数在点的泰勒公式（即麦克劳林公式）在的值.定理2若二元函数在点的领域存在阶连续的偏导数，则有（4）其中符号表示偏导数在的值，(4)式称为二元函数在点的泰勒公式.证明设由已知条件，函数在区间存在阶连续导数.从而，可将函数展成麦克劳林公式，即特别地，当时，有求即求复合函数的高级导数.由复合函数微分法则，有(根据定理1)同法可得，令，有将上述结果代入的展开式中，就得到二元函数在点的泰勒公式：在泰勒
6、公式(4)中，令就得到二元函数的麦克劳林公式（将与分别用与表示）：（5）在泰勒公式(4)中，当时，有或（6）（6）式是二元函数中值定理的另一种形式，这里只有一个在泰勒公式（4）中，当时，有（7）例4将二元函数展成麦克劳林公式.解函数在存在任意阶连续偏导数，且与是任意非负整数.由公式（5），有不难看到，将中的当作一个变量，用一元函数的麦克劳林公式得到的结果与上述结果是一致的.不难将上述二元函数的泰勒公式推广到元函数上去.例如，若三元函数在原点的领域存在阶连续偏导数，则三元函数的麦克劳林公式为例5当都很小时，将超越函数近似表为的多项式.解将三元函数展成麦克劳
7、林公式（到二阶偏导数），有同样同样同样于是，即三、二元函数的极值在实际问题中，不仅需要一元函数的极值，而且还需要多元函数的极值。本段讨论二元函数的极值，其结果可以推广到n元函数上去.定义设二元函数在点的领域有定义.若，有则称是函数的极大点（极小点）.极大点（极小点）的函数值称为函数的极大值（极小值）.极大点与极小点统称为极值点.极大值与极小值统称为极值.哪些点可能是函数的极值点呢？即是函数的极值点的必要条件是什么呢？有下面定理：定理3若二元函数在点存在两个偏导数，且是函数的极值点，则与.证明已知是函数的极值点，即是一元函数的极值点.根据一元函数的极值的必
8、要条件，是一元函数的稳定点，即同法可证，.方程组的解（坐标平面上某些点）称为函数
