单种群生长地广义Logistic模型.pdf

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1、生物数学学报..o,;:azjBih,5(z)(1夕夕。)22一25o单种群生长的广义Lsitic模型不~日‘.喜/、J尹抓lj八(中山大学数学系)AGENERALIZEDLOGISTICMODELOFSINGLEPOPULATIONSGROWTHWangshousongoa:,znontoatemates,。,,g:anUn:e:st夕(DP少M人iZ人乃i艺)ABSTRACT,IflthisPaPerageneralizedlogistiemodeloftheformasx:K一瑟x(劝:,,:一I,x未>

2、0K>口)>口()d才K十护x.,areestablishedTheresultsindieateProvethatthegrowthofpoPulationsesesereoe来,5se,oeveravewhihidibdbymdl()1till5tyPhwitwillhextensiveaPplieabjli.tyo‘’,2’描述单种群生长的一般Lgistic模型为门,一口X一t一,一Tx(I之)x)0(1)入」:,.ea,知}>o为种群的内察生长率K>0为环境容纳量它通常被称为verhuls卜Prl模型,

3、、,,:二二!,、。*。/,:,、。K‘三其基本特征是描述了种群的S型生长(如图I)曰个尸石干目习恻另口!且xo火一万丁日,J,种群动态曲‘一一K2时会出现一个拐线x(t)在增民到羊一‘“,,占、、、.崔启武等从化学动力学的吸附理出发提出推广摸型‘汀x一,一,二了先(‘)/()一Jt渝分匕(2)李歹,其中。<、其描述的种群生长仍是s型奋0〔衣)t的,但种群动态曲线、t()的拐点将出现在l图中山大学科研基金资助项口捷,朋年12月28日收到.22王寿松S卷._._:_,,_,_,、。。__.,_,、。二。。、1dx

4、子*~。、__卜_K//二如、~一_几“‘’J一们别生灰举不厂刁种讲数重x刁大尔小冉足线任天系了丁”丁刀明(如图3).与种群数量/及其增长速度均有如下线性关系本文考虑种群相对生长率专弃贵二,-KFdtdx3些艺x-一()d了因而得到本文要讨论的广义Logist瓦模型dx仃(K一x)::(了)一dtK+夕x,,一·,显然当,时(、)即为模型(,)当即,、<。时(,这里我们还=0)为模型(z)一声..将包括,>0情形(在文〔子〕中提到FESmit人(1夕63)在细菌培养实验中讨论过类似的模.,,,型)我们可以

5、证明当>一1时模型(劝所描述的种群增长都仍是S型的但由于模型(劝,一1,比模型(劝多引进一个参数>其所描述的种群动态(特别是动态曲线出现拐点的位置.,与时刻)可以通过改变的数值而得到更广泛多样的反映出来因此我们称方程(劝为广义Lste。的ogii模型首先,容易求出方程(劝有隐函数形式的解一x。一)“+1=。了ttoX一K户了了、()r、更、亡口、2、产、.一O6x一K由二阶导数Z2一x,,.、,二。,.dx以(K)K11-一“tZZ石厂厂下一万污一叱、x十)八、十一飞)〕d、I、万X少—夕—F公‘个求得拐点值,

6、士侧,一X口闷皿(斥l)(了),,,,.其中>一I(寺。)说明拐点还与有关下面分两种情形讨论模型(劝的解曲线x=x(t)的图象。1“当:>0时1,则利用洛必达法则求得,、K三,,宜亘lf白“‘u叼丁xe二K“L)-+1,.0当公*十co时/,,·因此模型(,)的解曲线(,,在(“)之间总有一个拐点出现巳当增大时这个拐一噜x.,点出现的值就越来越小所以模型(劝与(1)的解曲线图象是基本相同的(见图1)所有满x.,足初值。

7、只不过S型曲线的拐点位置提前出现了(即拐点出现在种群成员数达到,,.其最大容纳量K的一半之前)或者说种群增长更快达到最f井吠态(参阅图子)l期单种群生长的广义Logistic模型。一护,2当I<<0时显然出现两个不同情形的拐点值丁/,二-二一K一e一=气训1+,一I,)—夕岔()/,,x:一二一K{eZ二一IV1。火斌十十少—,一,,,‘为了更清楚地确定它们的位置再返回模型(z)中的记号即令K二二此时K>K护且(8)中的两个拐点值为,二一刃丁灭气Ic,侧元灭万)(夕){尤。2二’万.K+了贾称不了j‘。,,:.

8、。,容易验证<这说明所有满足初逍二<劣。的解曲线x=x:)均车K,(之x=x。,,在处出现一个拐点与模型(l)比较其拐点推后出现,(在种群成员数达到其最大容纳量K的一半之后才出现拐点)或者说模型(了)描述的种群增长比模型〔1)较迟达到最佳状,x。产x=x态(参阅图子而对于满足初值>K的解曲线:-)(O将随友卜时间t增大而不断递增,且对于二。