logistic模型及其matlab算法.pdf

《logistic模型及其matlab算法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、Logistic曲线的三种参数估计方法作者QQ：2377389590Logistic曲线的参数估计1844或1845年，比利时数学家PierreFrançoisVerhulst提出了logistic方程，这是一个对S型曲线进行数学描述的模型。一百多年来，这个方程多次应用于一些特殊的领域建模与预测，例如单位面积内某种生物的数量、人口数量等社会经济指标、某种商品（例如手机）的普及率等。logistic方程定义如下：1x(1)tbtcae其中，t通常表示时间变量，abc,和为模型的参数；当趋势比较完整时a0bc0,0。其曲线如图1所示：1/c1/(2c)(ln(c/a)/b,1/(2c))

2、00ln(c/a)/b根据1图和(1)方程式得：当t时，xt()0；当t时，xt()c1/。为了研究Logistic曲线的增长特性，对(1)式求导一阶导数得：btdxabe0bt2dt()cae图1logistic方程的曲线示意图设xt（t=1,2,…,n）为观测样本，对于logistic方程的参数，常规的估计方法有三种。1.1.Yule算法：根据式(1)，有xxxt1tt=1xxtt11bt(1)cae1bt(2)caebtb()(1aecc)ebtcaebb(1e)c(1ex)txxtt1bb设zt、1e以及

3、ce(1)，则式(2)变形为线性方程zxtt，xt1利用普通最小二乘（OLS）方法可以得到这个方程参数的估计值，b和c的估计值也可以进一步得到。为得到a的估计值，将式(1)变形为：1ˆlnlncˆabtˆt=1.2.…,n(3)xt左右分别对t求和n1nn(1)ˆlncˆnlnaˆb(4)t1xt2因此，a的估计值为：1n1nn(1)ˆaˆcexpblnˆ(5)nxt1t21.2.Rhodes算法：根据式（1），有1bt(1)caext1bbbt(1)cceceae(6

4、)bbece(1)xt11bb设zt、st、ce(1)以及e，则式（6）变形为zstt。用普xxt1t通最小二乘（OLS）方法得到这个方程参数的估计值，并进一步得到b和c的估计值，然后利用式（3）-式（5）的方法得到a的估计值。1.3.Nair算法：式（2）可以进一步写为：xxtt1b(1e)(1cx)(7)txt1即：1x(1cx)tt1(8)b1exxtt1因此，有b12e1bb11ee2xcx(1)tt11xxtt1xcxx2xtt11tt(9)xxtt1112cxxtt111xxtt1

5、式（9）可以整理为：bb111ec1e12(1)(10)bbxxex11xettt11tbb11112(1ce)1e设zt、st、rb以及b，则式（10）可写xxtt1xxtt11e1e为zs。用普通最小二乘（OLS）方法得到这个方程参数的估计值，并进一步得到ttb和c的估计值，然后利用式（3）-式（5）的方法得到a的估计值。2.列题：中国1965-2011年CO2排放量（单位：亿吨）如表1所示：表1中国1965-2011年CO2排放量1965196619671968196919701971197219731974480.95

6、22.0468.8469.5573.8737.8869.8933.7977.2997.719751976197719781979198019811982198319841120.31176.11284.81422.11462.11499.71473.11539.21637.01771.019851986198719881989199019911992199319941886.51994.62145.72292.02396.82387.02484.42580.82750.22915.719951996199719981999200020012002200320043163.83231.93319

7、.53319.63484.03550.63613.93833.14471.25283.020052006200720082009201020115803.26415.56797.97033.57636.38209.88979.1用logistic方程模拟我国CO2排放量的变化趋势，分别用三种方法估计方程参数，并分别计算三种方法的MAPE及未来五年CO2排放量的预测结果。2.1.Yule算法：cle