在高等数学中的应用.ppt

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1、第十六讲在高等数学中的应用数值解还是解析解？在“语言篇”介绍了MATLAB数学软件基本语法的基础上，本篇讨论如何用它来解决大学所学过的数学问题。本篇的第1～4节依次讨论微积分中的极限与导数、解析几何、数列和级数以及数值积分问题。主要通过一些例题说明如何灵活使用MATLAB的各种函数来解题。对于学生而言，各门后续课程和未来的工程实践中遇到最大量的将是数值计算问题。计算机首先是计算的工具。计算机的计算过程和方法都是从计算器升级而来的，学生可以理解和接受其每一步，甚至自己都可以编出相应的程序，这是数值计算的一个长处。其次，用推理方法只能解决很少一部分有解析解的数学命题。比

2、如许多函数是无法求不定积分的，而它们的数值积分却都可以求得。因此优先让学生掌握数值方法等于给他们教会了具有更普遍适用的科学计算方法。对于他们今后的工程生涯将有更广泛的用处。当一个例题可以同时用数值方法和符号推理方法解决时，我们采取的原则是优先讲数值方法。因为通常这两种方法在编程上很相似，但又有一些关键性的差别，初学者很容易混淆。对于这类读者，还是先掌握数值方法为好。5.1函数、极限和导数一．单变量函数值的计算和绘图【例5-1-1】单变量函数的计算和绘图,设要求以0.01s为间隔，求出y的151个点，并求出其导数的值和曲线。解:dt=0.01;t=0:dt:1.5;%

3、设定自变量数组tw=4*sqrt(3);%固定频率y=sqrt(3)/2*exp(-4*t).*sin(w*t+pi/3);%注意用数组运算式subplot(2,1,1),plot(t,y),grid%绘制曲线并加上坐标网格title('绘图示例'),xlabel('时间t'),ylabel('y(t)')%加标注%求导数并绘制导数曲线,注意数组求导数后其长度减少一Dy=diff(y)/dt;subplot(2,1,2)plot(t(1:length(t)-1),Dy)gridylabel('Dy(t)')%加标注set(gcf,'color','w')参变方程的计

4、算和绘图【例5-1-3】摆线的绘制当圆轮在平面上滚动时，轮上任一点所画出的轨迹称为摆线。如果这一点不在圆周上而在圆内，则生成内摆线；如果该点在圆外，即离圆心距离大于半径，则生成外摆线。摆线绘制的程序◆建模：◆MATLAB程序exn512：t=0:0.1:15;%设定参数数组x=t+sin(t);y=cos(t);%计算x,yplot(x,y)axis('equal')%绘图grid动画t=0:0.001:15;%设定参数数组x=t+sin(t);y=cos(t);%计算x,ycomet(x,y)摆线绘制程序的结果设r=1,令R=r,R=0.7及R=1.5时得到的摆线

5、、内摆线和外摆线都绘于图5-1-3中。为了显示摆线的正确形状，x,y坐标保持等比例是很重要的，因此程序中要加axis(‘equal’)语句。三曲线族的绘制【例5-1-4】三次曲线的方程为,试探讨参数a和c对其图形的影响.图5-1-3c和a取不同值时y=ax3+cx的曲线族解:◆方法因为函数比较简单,可以直接写入绘图语句中,用循环语句来改变参数.注意坐标的设定方法,以得到适于观察的图形。给出的程序不是唯一的,例如也可用fplot函数等,画曲线族的程序x=-2:0.1:2;%给定x数组,subplot(1,2,1)%分两个画面绘图forc=-3:3plot(x,x.^3

6、+c*x),holdon,%a=1,取不同的cend,gridonaxis('equal'),axis([-22-33]),%x,y坐标等比例subplot(1,2,2),fora=-3:3plot(x,a*x.^3+x),%c=1,取不同的aholdon,end,gridonaxis('equal'),axis([-22-33])例5-1-4程序运行的结果5.3节数列和级数一．数列的表示方法数列就是自变量为整数时的函数。MATLAB中的元素群运算特别适合于简明地表达数列，可省去其他语言中的循环语句。下面就是一些例子：n=1:6;1./n=1.00000.50000

7、.33330.25000.20000.1667(-1).^n./n=-1.00000.5000-0.33330.2500-0.20000.16671./n./(n+1)=0.50000.16670.08330.05000.03330.0238数列用for循环的表示方法计算n!（n的阶乘），它应该写成prod(1:n)fork=1:6x(k)=prod(1:k);endx三.函数项级数【例5-3-2】利用幂级数计算指数函数解：◆原理：指数可以展开为幂级数%输入原始数据，初始化yx=input('x=');n=input('n=');y=1;%将通项循环相加n次，得