matlab在高等数学中的应用

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1、第3章MATLAB在高等数学中的应用3.1矩阵分析3.2多项式运算3.3数据的分析与统计3.4函数分析与数值积分3.1矩阵分析1．矢量范数和矩阵范数矩阵范数是对矩阵的一种测度。矢量的p范数和矩阵A的p范数分别定为：当p＝2时为常用的欧拉范数，一般p还可取l和∞。这在MATLAB中可利用norm函数实现，p缺省时为p=2。格式：n＝norm(A)功能：计算矩阵A的最大奇异值，相当于n=max(svd(A))。格式：n＝norm(A，p)功能：norm函数可计算几种不同类型的矩阵范数，根据p的不同可得

2、到不同的范数2．矩阵求逆及行列式值⑴矩阵求逆函数inv及行列式值函数det逆矩阵的定义：对于任意阶n×n方阵A，如果能找到一个同阶的方阵V，使得满足：A*V=I。其中I为n阶的单位矩阵eye(n)。则V就是A的逆矩阵。数学符号表示为：V=A-1。逆矩阵V存在的条件是A的行列式不等于0。格式：V=inv(A)功能：返回方阵A的逆矩阵V。格式：X=det(A)功能：计算方阵A的行列式值。⑵伪逆矩阵函数pinv伪逆矩阵的MATLAB定义：从数学意义上讲，当矩阵A为非方阵时，其矩阵的逆是不存在的。在MAT

3、LAB中，为了求线性方程组的需要，把inv(A′*A)*A′的运算定义为伪逆函数pinv，这样对非方阵，利用伪逆函数pinv可以求得矩阵的伪逆，伪逆在一定程度上代表着矩阵的逆。格式：C=pinv(A)功能：计算非方阵A的伪逆矩阵。3．线性代数方程求解写成矩阵形式可表示为：AX＝B或XA＝B。其中系数矩阵A的阶数为m×n。在MATLAB中，引入矩阵除法求解。(1)求解方程AX=B格式：X=AB条件：矩阵A与矩阵B的行数必须相等。(2)求解方程XA=B格式：X=B/A条件：矩阵A与矩阵B的列数必须相

4、等。一般线性方程组的4．矩阵的分解(1)三角(LU)分解函数lu所谓三角解就是将一个方阵表示成两个基本三角阵的乘积(A=LU），其中一个为下三角矩阵L，另一个为上三角形矩阵U，因而矩阵的三角分解又叫LU分解或叫LR分解。矩阵分解的两个矩阵分别可表示为：格式一：[L,U]=lu(A)功能：返回一个上三角矩阵U和一个置换下三角矩阵L(即下三角矩阵与置换矩阵的乘积)，满足A=L*U。格式二：[L,U,P]=lu(A)功能：返回上三角矩阵U，真正下三角矩阵L，及一个置换矩阵P(用来表示排列规则的矩阵)，满

5、足L*U=P*A；如果P为单位矩阵，满足A=L*U。(2)正交(QR)分解函数将矩阵A分解为一个正交矩阵与另一个矩阵的乘积称为矩阵A的正交分解。格式一：[Q,R]=qr(A)功能：产生与A同维的上三角矩阵R和一个实正交矩阵或复归一化矩阵Q，满足：A=Q*R，Q’*Q=I。格式二：[Q,R,E]=qr(A)功能：产生一个置换矩阵E，一个上三角矩阵R(其对角线元素降序排列)和一个归一化矩阵Q，满足A*E=Q*R；5．奇异值分解矩阵A的奇异值和相应的一对奇异矢量u、v满足：同样利用奇异值构成对角阵，相应

6、的奇异矢量作为列构成两个正交矩阵U、V，则有：其中AT表示转置矩阵。由于U和V正交，因此可得奇异值分解：格式一：[U,S,V]=svd(x)功能：返回3个矩阵，使得X=U*S*V’。其中S为与X相同维数的矩阵，且其对角元素为非负递减。格式二：S=svd(A)功能：返回奇异值组成的向量。6．矩阵的特征值分析矩阵A的特征值和特征矢量，满足：以特征值构成对角阵，相应的特征矢量作为列构成矩阵V，则有：如果V为非奇异，则上式就变成了特征值分解：格式一：d=eig(A)功能：返回方阵A的全部特征值所构成的向量

7、。格式二：[V,D]=eig(A)功能：返回矩阵V和D。其中对角阵D的对角元素为A的特征值，V的列向量是相应的特征向量，使得A*V=V*D。7．矩阵的幂次运算:A^p在MATLAB中，矩阵的幂次运算是指以下两种情况：1、矩阵为底数，指数是标量的运算操作；2、底数是标量，矩阵为指数的运算操作。两种情况都要求矩阵是方阵，否则，将显示出错信息。(1)矩阵的正整数幂如果A是一个方阵，p是一个正整数，那么幂次表示A自己乘p次。(2)矩阵的负数幂如果A是一个非奇异方阵，p是一个正整数，那么A^(－p)表示in

8、v(A)自己乘p次。(3)矩阵的分数幂如果A是一个方阵，p取分数，它的结果取决于矩阵的特征值的分布。(4)矩阵的元素幂、按矩阵元素的幂利用运算符“A.^p”实现矩阵的元素幂或按矩阵元素的幂运算。8．矩阵结构形式的提取与变换(1)矩阵左右翻转函数fliplr()格式：X=fliplr(A)(2)矩阵上下翻转函数flipud格式：X=flipud(A)(3)矩阵阶数重组函数reshape格式一：X=reshape(A,n,m)功能：将矩阵A中的所有元素按列的秩序重组成n×m阶矩阵X，当