一类具有三条瓶颈链路的网络系统稳定性分析.pdf

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1、系统的数学模型如下：定性进行了分析和研究2．系统的稳定性标准稳定性是系统的一个基本结构特性。稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题，对大多数情形，稳定是控制系统能够正常运行的前提。系统运动稳定性可分类为基于输入输出描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。本文中主要讨论的是系统的内部稳定性，以下简称为稳定性。1892年，俄国学者Lyapunov在“运动稳定性一般问题”一文中，提出了著名的Lyapunov稳定性理论。Lyapunov引入了一个虚构的能量函数，称为Lyapunov函数，记为V(x，t)或图1一类多瓶颈路由器网络结构图V(x)。由于V(x)是表示能量的函数，所以V(x

2、)>0。这样就可以根据V(x)的定号性来判断系统的稳定性。显然，若V(x)>0，并且V(x)<0，则系统就是渐进稳定的。dt南，w(c)．，Kpiq~-(I))3．多瓶颈网络流体模型dW一dtN(t)一南一)’‘KpOo(t_R)为了更好的模拟网络中的实际情况，我们首先对单瓶颈网络流体力学模型[1】进行了一些改进，选用了AIMD参数对dq1(1)一-CI，qf0【，13)，即加增过程中每次增加窗口；在倍减过程中窗口大小：j)Rn(c)不是减半，而是变为当前窗口大小的13倍：其中0l>0，B∈[0，1]。m卜q则此时的单瓶颈链路的AIMD／RED流模型可以用如下的一组非线性微分方程表示：d

3、q~t)一一J』RM(t)-C⋯>0ml{。作者简介：徐小，女，山东莱阳人，硕士。主要研究方向：计算机网络。-——46-——在多瓶颈系统模型(2)中，r(i)，i=l，⋯，N代表数据流i所经使R'-max{Rl，⋯，R}，运用Lyapunov-Razumikhin条过的拥塞路由器，f【m)，m=l，⋯，M代表通过拥塞路由器的数据件，对于t-R§t，当>1时，则有V(∈)2v(t)，从而流组。lIx(∈)llM··lx(t)Il。因此可得到：4．一般多瓶颈网络系统的稳定性标准N据．xT(t)Qx(t)+2IIx(t．R)I(∑II百II)IIx(I)在系统(2)中，其平衡点为i=lN2(1

4、—131)·(w1)(∑(Kpiq))=(1+81)．xT(t)[Q．2txM(∑IPBiII)I】x(t)i∈11i：1从而系统(2)在其平衡点的渐近稳定成立。2(1．pN)·(WN)(∑(KpiqJ))=(1+p’5．一类具有三条瓶颈链路拓朴结构网络系统的稳定性(wl，⋯，W，q1，⋯，qM)=G)分析∑NnWN*／R~=C。ⅡEⅡ”夸∑Nmw佻产c其中Ri=R。；i=l，⋯，N；Ri*=∑[0，1]。i∈i)l按照对单瓶颈网络的处理办法，对系统(2)也在平衡点附近对其进行线性化处理，我们忽略了时延参数q(t-RJ，i=1，⋯，N的独立性，并且把时变延迟固定为一个平衡值R。，i=l，

5、⋯，N。一图2一类具有三条瓶颈链路拓朴结构图我们所采用的系统形式表示如下：我们考虑了一个简单的多瓶颈链路情况，图2所示为具文(I)x(t)+∑B~x(t．Ri*)(4)有三条瓶颈的链路网络。在网络中有四组数据流共享四个路由器，其中有三条瓶颈链路L。、L和L3；组I和组II中的数据其中，x=(-(I)，⋯，W～N(t)，～q-(t)，⋯c))，=[A：l。l乏]，百流在链路L。上的共享带宽，并且组I中的数据流还分别和组=[％]，A，Bm，Bm，为已知的具有适当维数和形式的实III与组Ⅳ中的数据流在链路L2与L3上共享带宽。假设所有的路由器都使用RED协议，并且在非瓶颈链路上没有丢包和时常数

6、矩阵。通过劳斯判定标准可以检验出A是一个赫维茨矩Il虬延抖动。瓶颈链路L。、L：和的链路带宽分别为C。，C：，和C，，阵，这就意味着对任意给定的正定矩阵Q，存在有正定矩阵P，四组数据流的往返时延分别记为R，R：，R和R。使得+P=．Q。在上面的三瓶颈链路拓扑结构中，令链路L。、L和L3上令M=N／—km~(P)／—kmm(P)，其中(P)代表正定矩阵P的特征的包丢失概率分别记为Kp，、K和K，四组AIMD流的参数值，下面我们运用Lyapunov第二方法给出带有反馈时延的多对分别记为，B1)，：，p2)、s，p3)和(0c，。这就表明，对于组瓶颈系统(2)局部渐近稳定的一些充分条件。I来说

7、，其数据流在链路L、L和上的包丢失概率分别为定理1如果存在正定矩阵P，Q且满足ArP+pA=一Q，则pl(t—R1)=K口lql(t—R1)、p2(t—R1)=Kp2q2(t-R1)和p3(t—R1)=Kp3q3(t-R1)。假设一个数据包最多被丢弃(标记)一次，则数据流I可能被丢失Q-2M·N(1lPBlI)是正定的，从而系统(2)的平衡点是局部的概率为pl(t—R)+p：(t-Rt)+p，(t—R)-P-(t-R-)p(t-R)