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1、第23卷第2期大学数学Vol.23,№.22007年4月COLLEGEMATHEMATICSApr.2007多元线性回归在分析学生成绩相关性中的应用俞能福(安徽建筑工业学院数理系,安徽合肥230022)[摘要]利用多元线性回归分析法,根据学生专业课成绩与基础课成绩的相关性,建立了回归方程,进行定量分析,结果为教学研究和管理提供了科学的依据.[关键词]多元线性回归;逐步回归;专业课;基础课[中图分类号]O21216[文献标识码]B[文章编号]167221454(2007)02200422051引言回归分析是多元统计分析方法
2、中应用最为广泛的一种,它用于分析事物之间的统计关系,侧重考察变量之间的数量变化规律,并通过回归方程的形式描述和反映这种关系,帮助人们准确把握变量受其他一个或多个变量影响的程度,进而为控制和预测提供科学依据.本文应用多元线性回归分析学生成绩的相关性.2多元线性回归模型及其检验211多元线性回归模型一般地,我们考虑回归模型y=b0+b1x1+⋯+bmxm+ε,(1)其中x1,x2,⋯,xm是自变量b0,b1,⋯,bm是未知参数,ε是零均值随机变量.如果对(1)两边求期望,则有多元线性回归方程E(y)=b0+b1x1+⋯+bm
3、xm.(2)估计未知参数b0,b1,⋯,bm是多元线性回归分析的核心任务之一.由于参数估计的工作是基于样本数据的,由此得到的参数只是参数真值的估计值,记为^b0,^b1,⋯,^bm.我们用最小二乘法,解得模型(1)的多元经验回归方程^y=^b0+^b1x1+^b2x2+⋯+^bmxm.(3)但存在两个问题:(i)y与x1,x2,⋯,xm是否有较好的线性关系;(ii)对模型加以优化,看能否改进,即是否存在x1,x2,⋯,xm中的某个变量与y无关或它能被其它变量代替,因而回归模型中可以删除这个变量.212回归方程统计检验通过
4、样本数据建立回归方程后,一般不能立即用于对实际问题的分析和预测,通常要进行各种统计检验,包括回归方程的拟合优度检验、回归方程的显著性检验、回归系数的显著性检验等.21211回归方程的相关性检验[收稿日期]2005209203[基金项目]安徽建筑工业学院重点教学研究项目(2004JX17)第2期俞能福:多元线性回归在分析学生成绩相关性中的应用43回归方程的显著性检验旨在对模型中因变量与自变量之间的线性关系在总体上是否显著成立做出推断,回归方程的显著性检验方法之一是通过复相关系数(全相关系数)2Σ(^yi-…y)R=2.Σ(
5、yi-…y)复相关系数越接近于1,模型的拟合优度越高.为了削弱参数个数对复相关系数的影响,我们用修正的复相关系数,其平方为2(n-1)2m-1RŽ=R-.n-mn-m我们也可用检验零假设H0:b1=b2=⋯=bm=0的F检验,可以证明:F检验等价于复相关系数的显著性检验.21212回归系数的显著性检验方程的总体线性关系显著不等于每个自变量对因变量的影响都是显著的.因此,必须对每个自变量进行显著性检验,即检验H0i:bi=0,i=0,1,2,⋯,m,以决定是否作为自变量被保留在模型中.这一检验是由对统计量的t检验完成的.2
6、1213偏相关系数检验偏相关系数是衡量两个变量之间在消除其它变量影响之下的线性相关程度的数量指标,我们在选择自变量因子时,可以根据偏相关系数的大小予以取舍,从而提高相关分析的精确度.3多元回归分析法在学生成绩分析中的应用我们知道,一二年级所学基础课的成绩对后续专业课的成绩是有影响的,且它们之间基本上是正相关的.但它们之间关系密切的程度有多大?它们之间又有怎样的内在规律性呢?现在利用多元回归分析方法,对我院02级信息与计算科学专业100名学生的基础课成绩和专业课成绩进行分析,建立数学模型,进行定量分析.可以基于此模型对教学
7、及学生学习给出合理的建议和预测.311确定回归方程中的变量正态性检验:在我们即将用到的多元统计方法中都是有一个大前提的,那就是假定样本来自m元正态总体,所作的统计推断的结论是否正确,在某种意义上取决于实际总体与正态总体接近的程度如何?因此在进行具体的统计分析计算之前有必要对欲处理的数据进行正态性检验,我们用Kolmogorov检验法检验,结果均近似服从正态分布.现对模型所需变量定义如下:自变量x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8分别为数学分析,高等代数,解析几何,大学英语,复变函数,概率统计,C语言,离散数学成
8、绩,因变量y为专业课成绩,先后取数据结构,信息论基础,数值分析,数字信号处理,运筹学,常微分方程成绩进行分析.为使各变量之间具有可比性,先将原始数据xi和y进行了标准化处理(数据略).312确定回归模型根据经验知因变量和自变量之间大致成线性关系,故可建立线性回归模型即模型(1)进行线性回归分析.313建立回归方程并进
