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1、《工程力学》增刊年在结构谐波分析中的应用吴春秋,武汉大学土木建筑工程学院湖北武汉,利,摘刻弓要词一本文介绍了通过振型分解方法用主空间中的位移和速度作为状态变量建立运动系统状态方程的方法并利用,控制工具箱中的函数进行结构谐波分析文中分析了该方法的优缺点并给出了在存在相位差动荷载作用下结构谐波响应的计算方法。实例表明,该方法可以非常方便地建立运动系统的状态方程,并可控制求解规模。日“键谐波分析叻汀状态方程振型分解相位差,、、近年来现代控制论中的
2、状态空间理论’】被广泛地应用到了如固体力学复合材料力学结构动力学等学科领域。利用状态空间的概念,可以将离散自由度体系的运动方程,、组写成一阶微分方程组适用于多输入多输出、时变、非线性和随机等各种系统,具有很强的灵活性,因而状态空间理论在结构动力学领域得到了广泛的应用川。目前,在建立运动系统的状态方程时,一般是以物理空间中的速度和位移作为状态变量,由运动方程直接建立如式所示的状态方程。·一一·,、、卜,!啡冲!∀游简比剧思,,求解该状态方程时涉及到指数矩阵的卷积计算
3、并且由于式中的各方程是祸合的一般对于多自由度系统而言计算量相当大。对于线性时不变系统,本文通过振型分解法,以主空间中的速度和位移为状态变量,,。建立了运动系统的状态方程并利用控制工具箱中的函数进行结构的谐波分析系统运动方程在状态空间中的表示,结构离散化以后其运动方程可以写为二恤声卜祠阂同衍、、质量矩阵、阻尼矩式中阿区』一阵和刚度矩阵节体点位移向量—护—动荷载向量。对于自由度总数为的多自由度系统,可利用振型的正交性,将运动方程解祸成个
4、独立的单自由度系统的,。。,,运动方程每个方程对应于一阶模态设系统的位移向量体可表示为振型的线性叠加即·。,,,。。。·。‘户·,,伍卜卜…卜艺,,,。这里我们将构成的空间称为物理空间将构成的空间称为空间式可得星将式代入,,。,戈戈夕以,对上式两边左乘群得,。,,,戈群戈一群‘,,对于正则化振型并取为比例阻尼则有吴春秋,,,,作者简介”男武汉人博十
5、从事结构工程研究《一程力学》增刊年厂、杏山山月。杏必才一一万…芬山衅。…。璧…一口一…《,将上述式代入式中有,,,,二‘丘必口夕、、,,,,由于矩阵必口除主对角元素非零外其余元素均为所以式实际上为个独立的方程每个,,。方程表示自振频率为田,阻尼比为奋的单自由度系统的运功这样便达到了解祸的目的一,,,,,记戈则由式可得产
6、、‘李、·、!∀#产!∀‘!!!∀#‘!∀#、少、‘旅二乙二…‘田场羌拭,印,川朋一一奋山…之一。,,…··。一氦气一厂月工十“记为戈,,,,,式中为系统矩阵为输入矩阵!是和时间有关的一个向最称为输入向最就是该系统的状态变最。需要注意的是,此时的状态分最,为主空间中的状态,而我们所关心的是物理空间中的状态,它们之间的关系可从式。卜
7、,二占,,,二,,中导出记儿凡民分别表示白由度的位移和速度则‘艺艺公一之艺刃万之公。艺之……公…,。。式中为输出矩阵式和式就是多自由度运动体系的状态方程在谐波分析中的应用求解上面建立的状态方程即可求得系统的动力响应。利用,控制系统工具箱的相关函数求解状态方程几乎可进行时域和频域内的所有动力分析。本文只讨论利用
8、进行动力系统的谐波分析。定义状态空间模型,、、、可通过中的函数,,,来定义状态空间模型其中参数分别为上述系统矩阵输入矩阵和输出矩阵,参数为直接传递矩阵,在这里应取。一结构离散化后,自由度数目可以达到几千甚至几万,但由于高阶振型对结构动力响应的影响一般都很小,。,通常只要计算一部分低阶振型就够了设所选取振型的阶数为则主空间的状态为个系统矩
