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1、§8.28.2.1、偏导数概念及其计算8.2.2、高阶偏导数偏导数第八章定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意:8.2.1、偏导数的概念同样可定义对y的偏导数若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为或y偏导数存在,例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)说明：由偏导数的定义可知，求多元函数对一个自变量的偏导数时，只需将其它自变量看成常数.用一元函数的求导法则即可求得。例1.求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.例
2、2.设证:求证例3.设求解:例3.求的偏导数.解:偏导数记号是一个例4.已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：但在该点不一定连续.在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!偏导数的经济意义与一元经济函数的导数类似，二元经济函数偏导数也例某产品的需求量Q=Q(P,y)，其中P为该产品的价格，y为消费者的收入。有其经济意义。这是一个二元函数，需求量是价格和消费者收入的函数.1、当考虑消费者收入y不变时，价格由P变到P+ΔP时，需求量Q的平均变化率偏导数这是在(P,Q)时，Q对P的变化率。这是
3、在(P,Q)时,Q对P的偏弹性。2、当考虑产品价格P不变时，消费者收入y变到y+Δy时，需求量Q的平均变化率偏导数这是在(P,Q)时，Q对y的变化率。这是在(P,Q)时,Q对y的偏弹性。8.2.2、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为例4.求函数解:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数.则定理.本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.
4、(证明略)解:例4.求函数的各二阶偏导数。说明:函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,而初等内容小结1.偏导数的概念及有关结论定义;记号函数在一点偏导数存在函数在此点连续混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)思考与练习1.函数D提示:令y=kx,则在点(0,0)处()(A)连续且可导;(B)不连续且不可导;(C)连续但不可导;(D)可导但不连续.2.设则提示:13.f(x,y)在点处偏导数存在是f(
5、x,y)在该点连续的().(A)充分条件但非必要;(B)必要条件但非充分;(C)充要条件;(D)既非充分也非必要条件.D作业P1051(1),(4),(6)；5（3）
