计算流体力学2011-ch3 [兼容模式].pdf

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1、3.1.3.1.引言引言3.1.1.有限差分基本慨念Chapter3有限差分方法离散的方式表示连续的流体：用在空间和时间有限网格点上流体的状况近似地描述连续流体的状况。FiniteDifferenceMethod(FDM)FDM是所有近似方法中最简单的一种，在FDM中：微分差分微分方程代数方程组求解微分方程求解代数方程组将时间和空间划分成网格后，本章中运用下面的基本符号Note:离散化后会丢失信息–thegreaterthenumberofpoints,themoreaccuratewillbetherepresentation??SeeFigure.时间步数（

2、Timelevel）n:ρn表示时间步n的ρ∆t=时间间隔=tn+1–tn.n-1:past;n:present;n+1:futuret=n∆t，n=时间步数=0,1,2,3,…..,NT=N∆t=最后时间空间位置:下标i,j,k,（forx,y,andz）.∆x，∆y,∆z:x，y,z向网格距坐标：xi=i∆x∆x，∆y,∆z和∆t经常为常数3.1.2.3.1.2.数值算法中需要考虑的几个定量性质数值算法中需要考虑的几个定量性质离散化后是否保持守恒？答案：不一定。流体控制方程(PDE’s)具有的一些物理性质希望在比如，还可以将方程写成离散化后仍然保持。比如1)守恒性

3、–控制方程经常表现出一些物理量的守恒性考虑网格点上ρ和v是分离的(staggeredgrids)，一个小质(在一个封闭的空间物理量的积分不随时间改变).网格带内的质量变化是通过边界的流出（入）引起的，E.g.,质量守恒为了计算边界处ρv，须将ρ平均到u,v点上。在一个封闭的箱体积分1如果用另外的计算网格(non-staggeredgrids):为了计算网格边界处通量又要采用不同的平均方法,得2)非负性–一些正的物理量(mass,energy,water到的守恒结果将会不同。vapor)不能变成负的.因此，为了保证守恒性要仔细设计网格和算法。数值计算过程中不一定能够保证

4、保证非负性的计算方案称为正定格式线性内插方案不会产生新的极值避免含有外插性质的格式3)可逆性–对输送过程应该可逆性，但是扩散过程没有。实际很难达到：计算误差不可避免。3.2.3.2.有限差分表达式的产生方法有限差分表达式的产生方法两种常用方法:4)精度–影响精度的因素：截断误差；计算机精度；数值解的稳定性。1.Taylor级数展开–（最常用）；参考文献：2.多项式拟合（插值）–最一般性的方法，1、王斌，季仲贞：大气科学中数值新方法及其运用，科学Taylor级数展开可以看为其子方法。出版社，20052、廖洞贤：大气数值模式的设计，气象出版社，19993.2.1.Tayl

5、orTaylor级数展开方法级数展开方法记:ui+1=u(x0+∆x).由Taylor级数表达式得到∂u/∂x：给出u(x0),对于u(x0+∆x)可以写出Taylor级数223∂uu(x+Δx)−u(x)(Δx)∂u(Δx)∂u展开=00−−+...(1)23∂xΔx2!∂x3!∂xx=x0x=x0x=x02233∂u(Δx)∂u(Δx)∂uu(x+Δx)=u(x)+Δx+++...0023右端第一项是u(x)在点(x)和(x+∆x)之间的平均斜∂x2!∂x3!∂x00x=x0x=x0x=x0率,可以作为该点斜率的近似：∞nn(Δx)∂u=∑n∂uu(x+Δx)−u

6、(x)n=0n!∂x=00+o(Δx)x=x0∂xΔxx=x0给出有限差分表达式是反过来：对有限的∆x给出∂u/∂x的近似表达式比较偏导数定义∂uu(x+Δx)−u(x)=lim00∂xΔx→0Δxx=x02类似可以用(x0−∆x)的值代替得到对这个问题上游差分格式比下游格式好,原因是和223∂uu(x)−u(x−Δx)(Δx)∂u(Δx)∂u=00+−+...(2)信号的传递方向一致。23∂xΔx2!∂x3!∂xx=x0x=x0x=x0从特征线看，没有信息从+x方向传递过来。如(1)称为向前差分（forwarddifference）果c<0,上游差分格式就要用+x方

7、向的点。以后会看(2)称为向后差分（backwarddifference）到下游格式对这个问题是不行的。如果有方程∂u/∂t+c∂u/∂x=0,c>0,可以用∂u/∂t+c(ui-ui-1)/∆x=0称为上游差分格式或迎风格式（UpwindDifference）；也可以是∂u/∂t+c(ui+1-ui)/∆x=0（下游格式）。如果（1)and(2)相减:对于高阶导数类似，如∂2u/∂x2，Taylorseries给出23∂uu(x+Δx)−u(x−Δx)(Δx)∂u=00−+...(3)3∂x2Δx3!∂xx=x0从（4）解出∂2u/∂x2（但不保留