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1、第二讲量纲分析、轮廓模型与曲线拟合一、量纲分析1．单位与量纲物理量可以分为两类：基本物理量（它们相互独立并可以通过自然规律的各种定律构成其他的物理量）—长度，质量，时间；衍生物理量（由基本物理量和定律导出的物理量）—速度，加速度等。国际通用的单位制（SI制）由七个基本单位构成：长度L，质量M，时间T，电流强度I，温度Θ，光强J和物质的量N：物理量单位符号长度米m质量千克kg时间秒s电流强度安培A温度开尔文K光强坎德拉cd物质的量摩尔mol一个物理量Q一般可以表示为基本物理量幂次之积，则称这个乘幂之积的表达式αβγδεζη[Q]=LMTIΘJN为该物理量对选定的一组基本量的量纲表达式，α
2、,β,γ,δ,ε,ζ,η称为量纲指数。−12−2−1−2例：[速度]=LT，[能量]=MLT，[压强]=MLT。若某个物理量的量纲指数全为0，则称该物理量为无量纲量，如圆周率，角度。注意：常数未必都无量纲（如万有引力常数），无量纲的量未必都是常数（如角度）。2．量纲分析法（Buckinghamπ定理，量纲齐次法则）量纲齐次法则设n个物理量x,x,L,x之间存在函数关系ϕ(x,x,L,x)=0。12n12n有m个基本量纲[X[],X],L[,X]。x的量纲可以表示为12mimβij[xi]=∏[Xj],i=,2,1L,n。若矩阵B=(βij)n×m的秩为r，则存在n−r个无量纲量j=1π
3、,π,L,π使得ψ(π,L,π)=0与ϕ(x,x,L,x)=0相互等价，其中12n−r1n−r12nmsπ=∏xαi，而αs是方程组BTα=0的基本解（称BT为量纲矩阵）。siii=1按照上述定理，量纲分析方法的一般步骤如下：（1）将与问题有关的有量纲的物理量记作x,x,L,x，按照物理意义确定问题12n的基本量纲[X[],X],L[,X]；12mmβij（2）按照物理知识用基本量纲表示xi的量纲为[xi]=∏[Xj],i=,2,1L,n。j=1n（3）设π=∏xαi为无量纲量，其中α待定。π的量纲表达式为iii=1nnmβijm∑βijαiαi=1[π]=∏∏([X])i=∏[X]，
4、由于π无量纲，可以得到jji==11jj=1n∑βijαi=,0j=,2,1L,m。i=1n（4）解线性方程组∑βijαi=,0j=,2,1L,m。若方程组的秩为r，则有n−r个i=1sssT基本解，记做α=(α,L,α),s=,2,1L,n−r。从而1nnsπ=∏xαi,s=,2,1L,n−r为无量纲量。sii=1例1单摆的运动周期考虑质量为m的小球系在长度为l的线的一端，偏离平衡位置后小球在重力mg的作用下做往复摆动，忽略阻力，球摆动周期t的表达式。在该问题中出现了四个物理量lt,,m,g，量纲分别为−2[t]=T[,l]=L[,m]=M[,g]=LT。设四个量之间存在关系flt,
5、,(m,g)=0，xyuvxyu−2vx−2vuy+vπ=tlmg为无量纲量。[π]=TLM(LT)=TML，则有⎧x−2v=0⎪⎨u=0⎪⎩y+v=0T易知该线性方程组的基础解系中有唯一的解向量,2(−)1,0,1，因此可以确定唯一的无量2−12−1纲量π=tlg，由上述定理flt,,(m,g)=0与ϕ(π)=ϕ(tlg)=0等价，按照隐函数2−12−1l存在定理，ϕ(tlg)=0可以确定出函数tlg=C，即t=C，其中C待定。g例2船在水中航行受到的阻力假设：（1）船长为l，吃水深度为h，船的航行速度为；v（2）不考虑风对船航行的影响（3）水是均匀的，密度一致，粘性系数一致模型建立
6、：（1）此问题中涉及的物理量有：阻力f，船长l，吃水深度h，速度v，水的密度ρ，水的粘性系数μ，重力加速度g。（2）各物理量的量纲−2−1−3−2−1−1[f]=MLT[,l]=L[,h]=L[,v]=LT[,ρ]=ML[,g]=LT[,μ]=LMT∂v（注：对μ的量纲的说明，由关系p=μ）量纲矩阵为∂x⎡1111−3−11⎤⎢⎥A=1000110。⎢⎥⎢⎣−200−10−1−2⎥⎦（3）假设fl,,h,v,ρ,μ,g之间存在关系ϕ(fl,,h,v,ρ,μ,g)=0，按照量纲齐次原则，构造π=fy1ly2hy3vy4ρy5μy6gy7为无量纲量，y,y,L,y为方程组126Ay=0的解
7、。（4）求解方程组Ay=0，注意到rank(A)=3，则方程组有4个基本解。1Ty=,1,0(−)0,0,0,0,12Ty=,1(−,0,2−,2−)0,0,13Ty=,1,1,0,1,0(−)0,14Ty=,0,1,0(−)1,0,0,2−1−2−1（5）四个基本解对应的无量纲量分别为π=lh，π=lvg，π=lvρμ，123−2−2−1π=flvρ。因此ϕ(fl,,h,v,ρ,μ,g)=0等价于4−1−2−1−2−2−1Φ(lh,lvg,l
