一元微积分经典习题.pdf

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1、一.选择题1.设f(x)在(－,+)内可导,且对任意x1,x2,x1>x2时,都有f(x1)>f(x2),则(a)对任意x,(b)对任意x,(c)函数f(－x)单调增加(d)函数－f(－x)单调增加解.(a)反例:,有;(b)显然错误.因为,函数单减;(c)反例:,单调减少;排除(a),(b),(c)后,(d)为答案.具体证明如下:令F(x)=－f(－x),x1>x2,－x1<－x2.所以F(x1)=－f(－x1)>－f(－x2)=F(x2).2.设f(x)在[－,+]上连续,当a为何值时,的值为极小值.(a)(b)(c)(d)解.为a的二次式.所以当a=,F

2、(a)有极小值.3.函数y=f(x)具有下列特征:f(0)=1;,当x0时,;,则其图形(a)(b)(c)(d)1111解.(b)为答案.4.设三次函数,若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数,则这个函数的图形是(a)关于y轴对称(b)关于原点对称(c)关于直线y=x轴对称(d)以上均错解.假设两个极值点为x=t及x=－t(t0),于是f(t)=－f(－t).所以,所以b+d=0的根为x=t,所以b=0.于是d=0.所以为奇函数,原点对称.(b)为答案.5.曲线与x轴所围图形面积可表示为(a)(b)(c)(d)解.012由图知(c)为答案.二.填空题1.函数(

3、x>0)的单调减少区间______.解.,所以0b>0)之间的图形的面积______.解.二椭圆的第一象限交点的x坐标为.所以所求面积为===4ab=2224.x+y=a绕x=－b(b>a>0)旋转所成旋转体体积_______.解.－ba由图知==(5)求心脏线=4(1+cos)和直线=0,=围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积__

4、___.解.极坐标图形绕极旋转所成旋转体体积公式所以=三.计算题1.在直线x－y+1=0与抛物线的交点上引抛物线的法线,试求由两法线及连接两交点的弦所围成的三角形的面积.解.由联立方程解得交点坐标,由求得二条法线的斜率分别为,.相应的法线为,.解得法线的交点为.已知三点求面积公式为所以.2222.在抛物线y=x上一点P(a,a)作切线,问a为何值时所作切线与抛物线y=－x+4x－1所围图形面积最小解.切线和抛物线的交点为3.求通过点(1,1)的直线y=f(x)中,使得为最小的直线方程.解.过点(1,1)的直线为y=kx+1－k所以F(k)====k=2所求直线方程为y

5、=2x－14.求函数的最大值与最小值.解.,解得x=0,x=,,=1所以,最大值,最小值.32(5)求曲线y=x－2x与y=x所围阴影部分面积S,并将此面积绕y轴旋转,求此旋转体体积.