《微积分》课后习题答案五.pdf

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1、习题五（A）1．求函数f(x)，使f′(x)=(x−2)(3−x)，且f(1)=0.解：f′(x)=−x2+5x+61352⇒f(x)=−x+x+6x+C321523f(1)=0⇒−++6+C=0⇒C=326135223f(x)=−x+x+6x+3261x2．一曲线y=f(x)过点（0，2），且其上任意点的斜率为x+3e，求f(x).21x解：f(x)=x+3e212x⇒f(x)=x+3e+C4f(0)=2⇒3+C=2⇒C=−112x⇒f(x)=x+3e−1423．已知f(x)的一个原函数为ex，求∫f′(x)dx.22解：f(x)=(ex)′=2xexx2∫

2、f′(x)dx=f(x)+C=2xe+Cdx24．一质点作直线运动，如果已知其速度为=3t−sint，初始位移为s0=2，求s和t的函dt数关系.解：S(t)=3t2−sint⇒S(t)=t3+cost+CS(0)=2⇒1+C=2⇒C=1⇒S(t)=t3+cost+1′15．设[lnf(x)]=，求f(x).21+x′1解：[lnf(x)]=2⇒lnf(x)=arctanx+C11+x⇒f(x)=earctanx+C1=Cearctanx(C>0)112x6．求函数f(x)，使f′(x)=+−e+5且f(0)=0.1+x1−x211x+512x解：f(x)=+

3、−e⇒f(x)=lnx+1+arcsinx−e+5x+C1+x1−x2211f(0)=0+0−+0+C=0⇒C=2212x1⇒f(x)=lnx+1+arcsinx−e+5x+227．求下列函数的不定积分x−x2dt（1）∫dx（2）∫xa(t−1)x2−1mn（3）xdx（4）dx∫∫x2+1x4+11+sin2x（5）dx（6）dx∫x2+1∫sinx+cosxcos2x1+cos2x（7）∫dx（8）∫dxsinx+cosx1+cos2xcos2x⎛2x2⎞（9）dx（10）⎜cos+sinx⎟dx∫sin2xcos2x∫⎝2⎠cos2x−1e2x−1（1

4、1）dx（12）dx∫sin2xcos2x∫ex+12×8x−3×5x2x+1−5x−1（13）dx（14）dx∫8x∫10xex(x−e-x)（15）∫dx（16）∫(ex+2x)(1+3x)dxx⎛1+x1−x⎞(x2−1)1−x2−5x（17）∫⎜+⎟dx（18）dx⎜1−x1+x⎟∫2⎝⎠x1−x21−cos2x1+x（19）dx（20）dx∫4∫1+cos2x−sin2x1−xx3+x−1x4−x2（21）dx（22）dx∫x2(1+x2)∫1+x2133522解：（1）=∫(x2−x2)dx=x2−x2+C3511d(t−1)2（2）=.=(t−1

5、)2+C∫a1a(t−1)2⎧nn+mm⎪∫xmdx=xm+Cm≠−n,m≠0⎪n+m⎪n⎪（3）=⎨∫xmdx=Inx+Cm=−n⎪⎪dx=x+Cm=0⎪∫⎪⎩⎛2⎞（4）=∫⎜⎜1−2⎟⎟dx=x−2arctanx+C⎝x+1⎠x2(x2+1)−x2+1x3（5）=dx=−x+2arctanx+C∫x2+13sin2x+cos2x+2sinxcosx(sinx+cosx)2（6）=∫dx=∫dxsinx+cosxsinx+cosx=∫(sinx+cosx)dx=sinx−cosx+Ccos2x−sin2x（7）=∫dx=∫(cosx−sinx)dxsinx

6、+cosx=sinx+cosx+C1+cos2x111x⎛⎞（8）=∫2dx=∫⎜⎜2+1⎟⎟dx=tanx++C2cosx2⎝cosx⎠22cos2x−sin2x11⎛⎞（9）=∫22dx=∫⎜⎜2−2⎟⎟dx=−cotx−tanx+Csinxcosx⎝sinxcosx⎠cosx+11−cos2x⎛cosxcos2x⎞（10）=∫+dx=∫⎜−+1⎟dx22⎝22⎠11=x+sinx−sin2x+C24cos2x−sin2x−cos2x−sin2x1（11）=dx=−2dx=−2tanx+C∫sin2xcos2x∫cos2x（12）=∫(ex−1)dx=ex

7、−x+Cx⎛5⎞x⎜⎟⎛5⎞⎝8⎠（13）=2∫dx−3∫⎜⎟dx=2x−3+C⎝8⎠⎛5⎞ln⎜⎟⎝8⎠xx⎛1⎞1⎛1⎞2−x1−x（14）=2∫⎜⎟dx−∫⎜⎟dx=−5+2+C⎝5⎠5⎝2⎠ln55ln2⎛x1⎞x（15）=∫⎜e−⎟dx=e−lnx+C⎝x⎠2x(3e)x6x（16）=∫[ex+6x+2x+(3e)x]dx=ex++++Cln2l+ln3ln61+x+1−x1（17）=∫dx=2∫dx=2arcsinx+C1−x21−x2⎛x2−15⎞1（18）=∫⎜−⎟dx=x2−lnx−5arcsinx+C⎜x2⎟2⎝1−x⎠1（19）=∫dx=

8、arcsinx+C1−x21−cos2