《微积分课后习题答案》习题 九

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1、第九章无穷级数习题解答（A）1.写出下列级数的一般项：（1）；（2）；（3）；（4）；解（1）该级数一般项为；（2）该级数一般项为；（3）该级数一般项为；（4）该级数一般项为.2.设级数的部分和为，求和.解因为级数的部分和所以.于是3.证明下列级数收敛，并求其和.（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）该级数的前项部分和为.因为极限存在，所以该级数收敛，其和为.（2）该级数的前项部分和为.因为极限存在，所以该级数收敛，其和为.（3）该级数的前项部分和为.因为极限存在，所以该级数收敛，其和为.（4）该级数的前项部分和为.因为极限存在，所以该级数收敛，其和为.

2、4.利用无穷级数的性质判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）（4）；（5）（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；解（1）此级数的一般项为.因为，所以，由级数收敛的必要条件，可知，级数发散.（2）几何级数中的公比，因此收敛.由收敛级数性质：收敛级数加上有限项后，仍为收敛级数，可知级数收敛.（3）此级数的一般项为.因为，所以，由级数收敛的必要条件，可知，级数发散.（4）此级数的一般项为因为几何级数（公比）与（公比）均收敛，由收敛级数的性质可知，级数收敛.（5）原级数.由于调和级数发散，去掉它前面的10项后，所得级数仍发散.（6）几何级数中的公比，因此

3、收敛.由收敛级数性质：收敛级数加上有限项后，仍为收敛级数，可知级数收敛.（7）此级数为几何级数，其公比为，即.所以该几何级数收敛.（8）此级数的一般项为.因为，所以，该级数发散.（9）此级数的一般项为因为几何级数（公比）与（公比）均收敛，由收敛级数的性质可知，级数收敛.（10）若该级数收敛，则加括号后仍收敛，即级数收敛.又因几何级数（公比）收敛，则级数也应收敛.但这与调和级数发散矛盾.所以，原级数发散.5.利用正项级数比较判别法或其极限形式，判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（

4、12）；解（1）因为而调和级数发散，由正项级数比较判别法可知，级数发散.（2）因为而级数收敛，由正项级数比较判别法可知，级数收敛.（3）因为，.而几何级数收敛，由正项级数比较判别法的极限形式可知，级数收敛.（4）因为，而收敛，故级数收敛.（5）因为，而调和级数发散，所以，级数发散.（6）因为..当时，无穷小量，因此.而几何级数收敛，由正项级数比较判别法的极限形式可知，级数收敛.（7）因为...而调和级数发散，由正项级数比较判别法的极限形式可知，级数发散.（8）①当时，因为级数一般项的极限所以，级数发散.②当时，该级数的一般项.所以，级数发散.③当时，因为，

5、且几何级数收敛.所以，由正项级数比较判别法可知，级数收敛.综上所述，当时，原级数发散；当时，原级数收敛.（9）因为..而几何级数收敛，由正项级数比较判别法的极限形式可知，原级数收敛.（10）因为...而调和级数发散，由正项级数比较判别法的极限形式可知，级数发散.（11）因为...而级数收敛，所以级数收敛.（12）因为...而级数收敛，所以级数收敛.6.利用比值判别法判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；解（1）由于可知.因此，该级数收敛.（2）由于可知.因此，该级数收敛.（3）由于可知.因此

6、，该级数收敛（4）由于.因此，该级数收敛.（5）由于.因此，该级数发散.（6）由于.因此，该级数收敛.（7）由于.因此，该级数收敛.（8）由于可知.因此，该级数发散.（9）由于可知.因此，该级数发散.（10）由于可知.因此，该级数收敛.7.利用根值判别法判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；解（1），.因此，由正项级数的根值判别法可知，该级数收敛.（2），.因此，由正项级数的根值判别法可知，该级数收敛.（3），.因此，由正项级数的根值判别法可知，该级数发散.（4），.因此，由正项级数的根值判别法可知，该级数收敛.8.判别下列级数是绝对收敛、

7、条件收敛，还是发散？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；解（1）正项级数收敛（正项级数比较判别法）.因此，原级数绝对收敛.（2）记，因为，且，因此，交错级数满足莱布尼兹条件，级数收敛.而正项级数发散.因此，原级数条件收敛.（3）正项级数收敛（比值判别法）.因此，原级数绝对收敛.（4）记，因为，从而，可知，原级数发散.（5）记，因为，几何级数收敛，由正项级数比较判别法知收敛，即原级数绝对收敛.（6）记.设，则因为，所以正项级数收敛.由比较判别法可知，收敛，故原级数绝对收敛.（7）记，因为，且，因此，交错级数满足莱

8、布尼兹条件，级数收敛.而正项级数发散.因此，原级数条件收敛.（8）