理论力学全套解疑15.pdf

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1、第十五章动能定理题15-1试以题14-14图1中的系统为例，说明应用质点系动量矩定理和应用质点系动能定理在求解重物A的加速度时的特点。解答根据题14-14的解答可见，应用质点系对固定点O的动量矩定理de∑mO(mv)=∑mO(F)dt求重物A的加速度a时，只要将整体系统对O点的动量矩PP∑mO(mv)=v⋅r+JOωO+v⋅rgg以及作用在系统上的外力对O点之矩的代数和e∑mO(F)=Pr−F1r1P2v代入上述动量矩定理的表达式中，并注意到式中J=r、ω=、F=kx，OO12gr即可求得重物A的加速度dv2(P−kx)a==gdt5P求解过程之所以简捷迅速，

2、是因为在上述微分形式的动量矩定理表达式中，本身v就包含着质点系动量矩对时间求导运算，因此，用代替ωO以后，定理表达式的rdv左边自动出现了重物A的速度对时间的导数，它也就是重物A的加速度a。dt可见，由于动量矩定理中包含了速度对时间的求导运算，因此，可以很方便地直接求得作直线运动的重物A的加速度，这是应用动量矩定理的显著特点。那么，应用质点系的动能定理求解本题时，特点何在呢？根据质点系动能定理的表达式T−T=W21∑1−2首先计算系统的末动能和初动能，它们分别为（题14-14图3）：1P2121P25P2T=v+Jω+v=v2OO2g22g4gT1=0然后计算

3、作用于该系统的力所作的功122k2W=Px+k(0−x)=Px−x∑1−222将它们代入动能定理表达式中，可求得重物A下降一段距离x时的速度⎛k2⎞4g⎜Px−x⎟⎝2⎠v=5P为了求出重物A的加速度a，只要将上式对时间t求导即可。为了简化求导的运算，首先将上式写成⎛k2⎞4g⎜Px−x⎟2⎝2⎠v=5Pdx然后两边对t求导，消去速度v=后，求得加速度dtdv2(P−kx)a==gdt5P我们看到，在应用质点系动能定理求解过程中，首先可得到重物A的速度，然后对时间求导一次，就得到加速度。应用动能定理先求得速度的大小，然后对时间求导得到加速度的大小，这就是应用动

4、能定理求解动力学问题的主要特点。这种解题方法在求解动力学问题时被广泛地应用着。是求解动力学问题的一种经常使用的重要方法。特别是遇到系统的动量矩不容易求出或外力矩中包含有未知约束反力的复杂情况（例如题14-14图2中的复杂系统）因而不宜用动量矩定理求解时，就更能显示出应用动能定理求解加速度的方便之处。题15-2在题14-14图2所示的复杂系统中，不仅包含各种不同类型运动的刚体，而且出现了为数众多的未知约束反力。在求解重物A的加速度时，应用动量矩定理显然不便。但是，为什么应用动能定理却能避开这些难点。非常简捷地求出重物A下降时的加速度呢？解答在题14-14图2所示

5、的系统中，虽然包含着各种不同运动的刚体：有作直线平动的重物A，有作定轴转动的滑轮O，另外，还有作平面运动的滚轮C。运动类型各异，运动情况复杂，但是，对于这些运动刚体来说，各自都有其现成1P2121P212的动能表达式可套，它们分别是：v、以Jω及v+Jω，而不像OOCC2g22g2求动量矩那样，出现某些刚体的动量矩不好求的情况；另外，在本系统中，未知的约束反力确实不少（题14-14图4）：轴承反力XO、YO，地面正反力N以及摩擦力F等。但由于系统受的是理想约束，不仅轴承反力XO、YO作功为零、地面正反力N作功为零，而且只滚不滑中的静滑动摩擦力F作功也等于零。这

6、就是说，在力的功中，所有的未知反力均不出现，只出现已知力的功——重力P的功和弹簧力F1的功。因此，对于求解这一复杂系统中重物加速度的问题，应用动量矩定理（详见题14-14）和应用动能定理有以下两方面的差别：应用动量矩定理时，不仅系统的动量矩求起来不太方便，而且外力矩中还包含未知力；而应用动能定理时，不仅系统的动能容易求，而且力的功中不包含未知力，这就是本题不宜用动量矩定理而适宜使用动能定理的原因。根据以整体系统为研究对象的动能定理T−T=W：21∑1−2⎡1P212⎛1P212⎞⎤⎢v+JOωO+⎜⎜vC+JCω⎟⎟⎥−0=P⎣2g2⎝2g2⎠⎦122k(O−

7、x)C222PrvvPRvC在上式中（参阅题14-14图4）：J=,ω=,v=,J=,ω=，OOCC2gr22gRxR=2r,x=，将这些关系式代入上式得C215P212v=Px−kx(1)16g8dx(1)式两边对t求导，并消去v=，求得重物A的加速度dtdv2(4P−kx)a==gdt15P通过以上讨论可知：（1）对于一个复杂的系统求解其动力学问题时，能否应用某一个定理或某一个方法求解，关键在于该定理或该方法中所涉及的物理量是否比较容易地表达出来，以及该系统受力图中出现的未知力是否能消失在该定理的方程之中。（2）遇到由作各种不同运动的刚体所组成的复杂系统，

8、在求解其速度或加速度大小时，如果系统受